处理拖欠工资的劳动投诉是一项复杂而繁琐的程序，一般需要较长时间来完成。主要包括以下几个方面：
1. 接受申诉并核实情况：处理劳动投诉需要首先接受申诉，并对投诉人提供的相关证据进行核实和确认。这一过程通常需要1-2天时间。
2. 联系雇主并调解：在确认申诉属实后，需要与雇主进行联系并尝试进行调解。这一过程通常需要2-3天时间。
3. 审理案件并作出裁决：如果调解不成功，就需要进行案件审理，并根据相关法律规定作出裁决。这一过程通常需要5-7天时间。
4. 执行裁决并发放赔偿：如果裁决胜诉，就需要执行裁决并向投诉人发放赔偿。这一过程通常需要1-2天时间。
综上所述，处理拖欠工资的劳动投诉所需时间不少于10天。同时，实际时间还可能因申诉情况、调解进程、裁决程序等多种因素而有所不同。因此，需要投诉人和相关部门耐心等待，同时加强交流和协商，以尽快解决问题。
