当三角形DEF在三角形ABC内时，结论成立；
当三角形DEF在三角形ABC外时，S三角形DEF-S三角形CEF＝1/2S三角形ABC。若理解为三角形CEF三角形ABC外时，面积为负，则结论成立。
证明：
1.当E在AC上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
因为AC垂直BC
所以E'D垂直F'D，F'D平行AC，E'D平行BC
因为D为AB边的中点，
所以E'为AC边的中点，F'为BC边的中点
因为AC=BC
所以CE'=CF'=1/2AC=1/2BC
所以四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
S三角形DEF+S三角形CEF＝S正方形E'CF'D+S三角形EDE'-S三角形FDF'=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
2.当E在AC延长线上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC（证明同上）
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
设DF与AC的交点为G，过A做AC的垂线交DE于H
因为E'为AC中点，且CE'=CF'
所以AE'=CE'=CF'
因为AH垂直AC
所以AH平行E'D
因为CG平行DF'
所以三角形FCG全等于三角形EAH，梯形CGDF'全等于梯形AHDE'
S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG
所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE'+S三角形DE'G=S梯形CGDF'+S三角形DE'G=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
