1. 定理是由公理及其推导过程得出的结论：定理是在已有公理的基础上，通过严密的逻辑推导和证明得到的结论。这些定理经过验证、比对、检验后成为数学知识中不可或缺的一部分。定理的严密性是保证了数学系统内部逻辑连贯性的必要条件。
2. 公理是自成体系的基本假设：公理是数学体系和理论的构建起点。公理通常是在日常语言中描述的简单直观的陈述，其作用是为了确立数学世界里的最基本观念或行为。公理作为数学体系中的基本假设，其起源于我们对于自然界中各种各样现象的观察总结而来。公理体系具有自足性，即它可以完全独立地存在而不需其他陈述协助。
3. 公理的重要性：公理是形成数学理论框架的基础，所有的定理都是以公理为前提被推导出来的。公理所描述的概念和关系是建立起整个数学世界的起点，而且，公理体系一旦确定，就具有无限的推广性和应用性。此外，在现实世界中，公理也有着广泛的应用，如科学研究、工程技术等领域。公理不仅是数学继往开来的基础，也是人类认识世界的起点，其重要性毋庸置疑。
4. 公理和定理的关系：公理和定理是数学研究领域中不可分割的两个概念。公理是数学知识的基础，而定理则是根据公理推导出来的结论。在数学推理过程中，公理扮演着确定性的角色，限制了推理的范围；而定理则是变化的，有可能是在特定情况下成立的，或者需要针对新的问题进行修正和推导。公理和定理相互依存、相互补充，共同构成了数学知识体系的完整性和系统性。
