1、想申请劳动仲裁，有工作期间和领导发的短信就是证明你与公司有事实劳动关系的存在。
2、因为没有签用工合同，因此，你可用“没有签劳动合同”这样一个合法的理由申请劳动仲裁！
3、赔偿要求是按《劳动合同法实施条例》：
第六条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并与劳动者补订书面劳动合同；劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并依照劳动合同法第四十七条的规定支付经济补偿。
前款规定的用人单位向劳动者每月支付两倍工资的起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日。
