如何推出实对称矩阵A与其逆矩阵合同?

2022-08-10 文化 77阅读

设A的逆矩阵为B

则AB=E(单位矩阵)

因为A对称,A=ABA=A‘BA

又因A可逆

故A与B合同。

实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。

合同:是矩阵之间的一个等价关系,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。

扩展资料:

1、实对称矩阵主要性质:

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。

2、合同的性质

数域P上n*n矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的n*n矩阵C,使B=C'AC.

矩阵合同变换是在矩阵左右两边分别乘C'和C,其中C为非退化矩阵.

合同变换是在分析二次型的化简过程中产生的,二次型的矩阵通过合同变换化为形式上比较简单的对角阵,即标准型和规范型,给研究二次型的性质带来了很大方便。

参考资料:

百度百科-合同

百度百科-实对称矩阵

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