椭圆的弦长公式中,已知x1+x2和x1x2,怎么推出y1+y2和y1y2

2020-08-24 教育 516阅读

弦所在的直线设为y=kx+b

y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2

将x1+x2,x1x2代入即可。

设直线y=kx+b

代入椭圆的方程可得:x²/a²+ (kx+b)²/b²=1,

设两交点为A、B,点A为(x1,y1),点B为(x2,y2)

则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]

把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,

则有:

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]

=│x1-x2│ √ (1+k²) 

同理可以证明:弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

扩展资料:

直线和椭圆的交点(默认一定存在交点,且直线 A!=0,B!=0;)

直线:Ax+By+C=0;

椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1;

求直线和椭圆的交点:

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0。

椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a,F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n)。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ。

参考资料来源:百度百科--椭圆弦长公式

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