椭圆面积公式S=π(圆周率)×a×b（其中a,b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长）.
中文名：椭圆面积公式
表达式：S=π×a×b
应用学科：数学
适用领域范围：几何数学
分享
面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).
c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式.
定理内容
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的面积为π*a^2*b/a=πab
c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导
因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx意思是求0到a上y关于x的定积分步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx设x^2/a^2=sin^2t则∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*costd(a*sint)pi=圆周率∫[0:pi/2]b*costd(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2tdtcos^2t=1-sin^2t∫[0:pi/2]b*a*cos^2tdt=[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2tdt这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx证明如下sinx=cos(pi/2-x)设u=pi/2-x则∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)=-∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx则∫[0:pi/2]b*a*cos^2tdt=[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2tdt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2tdt那么2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2tdt=a*b*（pi/2)则S=a*b*(pi/4)椭圆面积S_c=a*b*pi可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
导数方法
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
取第一象限内面积有y^2=b^2-b^2/a^2*x^2
即y=√（b^2-b^2/a^2*x^2)
=b/a*√(a^2-x^2)
由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4
可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=ab/4π
即S=abπ。
此方法比较容易理解。
