等比数列的前n项和的Sn,S2n,S3n有何关系

2022-04-11 科技 107阅读

等比数列的前n项和Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列,公比为q^n。

证明如下:

设等比数列{an}的公比为q,

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。

S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n

所以(S2n-Sn)/Sn=q^n。

同理,S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]

=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n。

所以(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n。

所以(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。

即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n)。

扩展资料:

等比数列求和公式的性质:

①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则aman=apaq;

②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列;

③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=(aq)^2;

④若G是a、b的等比中项,则G2=ab(G≠0);

⑤在等比数列中,首项a1与公比q都不为零;

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1);

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列,数列{lgan}是lgq的等差数列。

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