等比数列的前n项和Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列，公比为q^n。
证明如下：
设等比数列{an}的公比为q，
an=a1q^(n-1)
am=a1q^(m-1)
两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。
S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n
所以(S2n-Sn)/Sn=q^n。
同理，S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]
=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)
=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n
=S2n+[S2n-Sn}q^n。
所以(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n。
所以(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。
即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n)。
扩展资料：
等比数列求和公式的性质：
①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G≠0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；
⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)；
⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。
