矩阵相似的定义是：若存在可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称矩阵$A$与矩阵$B$相似。因此，若矩阵$A$与矩阵$B$相似，则一定存在可逆矩阵$P$，满足$B=P^{-1}AP$。
证明如下：
$(1)$ 对于任意$n$阶矩阵$A$，都存在单位矩阵$I$，使得$I^{-1}AI=A$。
$(2)$ 若矩阵$B$与矩阵$A$相似，则存在可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$。因此，$A=PBP^{-1}$。
$(3)$ 将$A$表示为矩阵乘积的形式：$A=PIP^{-1}API^{-1}$。
$(4)$ 由于矩阵乘积满足结合律，因此$B=PIP^{-1}BPB^{-1}P^{-1}I=Q^{-1}AQ$，其中可逆矩阵$Q=PB$。
因此，若矩阵$A$与矩阵$B$相似，则存在可逆矩阵$P$，满足$B=P^{-1}AP$。
