根据三角函数的周期性质，$\cos(na)$在$n\rightarrow\infty$时不一定存在极限。因此，$\sum_{n=1}^{\infty}\cos(na)$不一定收敛，或者说可能发散。
但是如果$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，由于$|\cos(na)|\leqslant 1$，可以得到$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(na)$应当也是绝对收敛的，从而一定收敛。
因此，只有在$a_n$满足$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛的条件下，才能推出$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(na)$的收敛性。否则，$\cos(na)$未必在$n\rightarrow\infty$时收敛，所以$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(na)$可能仍然发散。
