AB矩阵的逆为什么要把B矩阵的逆写在前面

2022-04-18 社会 100阅读

这是线性代数矩阵变换的反序原则,和求矩阵的转置一样,需要把原来矩阵的顺序反过来。下面进行逆推证明:

(1)进行证明转换。如果要求AB矩阵的逆矩阵,那么该逆矩阵需要与AB矩阵相乘等于单位矩阵E。

(2)运算过程如图

(3)论述得证

矩阵运算与代数运算有着很大区别,在进行矩阵分配运算和平方运算时,矩阵的顺序不能搞反。求逆矩阵和转置矩阵都要满足矩阵反序原则。

扩展资料:

设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。

(1)求逆矩阵的初等变换法:

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

 

对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

如求

 

的逆矩阵A-1。

故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1= 

初等变换法计算原理:

若n阶方阵A可逆,即A行等价I,即存在初等矩阵P1,P2,...,Pk使得

 

在此式子两端同时右乘A-1得:

比较两式可知:对A和I施行完全相同的若干初等行变换,在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时,这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。 [2] 

如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。

也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A)=rank(B)=n)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

参考资料:逆矩阵_百度百科

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