求曲面z=x^2+y^2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程。请高手讲解一下

2020-06-17 科技 271阅读

切平面的方程为2x+4y-z=5。

解:令曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0,且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行。

分别对F(x,y,z)进行x,y,z求偏导,得

φF(x,y,z)/φx=2x,φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1

那么可得点P(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为n=(2x0,2y0,-1)

又平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)。

要使曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行,那么n∥m,

可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1),可求得

x0=1,y0=2,z0=5。

那么过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为,

2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0,即

2x+4y-z=5

即切平面的方程为2x+4y-z=5。

扩展资料:

1、法向量性质

(1)若n=(a,b,c)为平面M的法向量,A ,B为平面上任意两点,则有法向量n与向量AB的乘积为零。

即n·AB=0。

(2)若n=(a,b,c)为平面M的法向量,且平面M上的点为P(x0,y0.z0),那么平面M的方程可表示为,

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0。

2、空间向量的基本定理

(1)共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb。

(2)共面向量定理

如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

(3)空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。

参考资料来源:百度百科-法向量

参考资料来源:百度百科-切平面

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