我这个是比较详细最好看明白的严谨的证明
Lagrange中值定理（拉格朗日中值定理）
设f（x）＝arctanx
则x属于（a，b）上时，有【arctan（b）－arctan（a）】/b－a＝f'（c）
存在一种情况，如f'（c）＝1/1＋c²时
c取任意a，b区间内的值，c²都＞＝0
故1/1＋c²＜＝1
故原式【arctan（b）－arctan（a）】/（b－a）＝f'（c）=1/1＋c² 恒小于等于1。说明等号左边的分母大，才能有分数值恒小于等于一的时候，这个不证自明吧。真不知道那个“睿智”给我的差评，小学的分数就学过吧。
乘过去分母b－a即为所求，你会发现 乘过去是。
arctanb-arctana<=（b-a）1/1＋c² 。这不就是分母写在不等式右边的时候吗而已。
arctanb-arctana<=b-a
是在（a，b）区间来说。成立（Lagrange定理）
