图像变换，称为章变换的处理之后的一定的数学工具特别是数字图像的图像，原来的两维空间域数据的过程中，被变换成变换域形式描述。例如，傅里叶变换的时域或空间频率域的信号被转换成的能量分布进行说明。
任何图像信号处理的图象信号的频率分量的分布是不同程度的变化，因此，重要的技术装置，用于在频域中的信号（变换域）的分析和处理的，但是，有有一些在空间域是不容易实现，操作简单，轻松完成在频域（变换域）。
PP
如上所述，图像变换三维空间图像数据被转换成一组基矢量空间（通常是正交的向量空间）坐标，我们希望这些离散的图像信号的坐标参数统称表示有效的图像中的信息，或者更方便地达到一定的处理的目的。下图描述了空域处理和变换域处理数字图像处理。
PP
图像变换的实质是从一个空间到另一个空间的图像转换，不同的基向量变换不同之处在于，变换不同的。几种不同的变换基向量变换下面给出的例子。
例如，从直角坐标系中的极坐标系统的变化，见图
PP
同样，彩色图像，可以按照一定的标准，分解成一些基本的颜色分量的图像。的
傅里叶变换可变换的一维信号从时域变换到频域，如下面的图，一个正弦信号的傅立叶变换来获得它的零频率（DC分量）的频度分布的后和基带。
一维傅里叶变换的定义：
一维逆傅立叶变换的定义：
F（U）包含正弦和余弦项至无穷远和u称为频率可变的，它的每个值被确定对应于正弦余弦-频率对。
根据欧拉公式
傅立叶变换系数的复数和极坐标形式可以写成如下形式：
包括：
傅立叶频谱（振幅功能）
相位角的的
能源的的
PP
连续的二维傅里叶变换函数的定义
维函数的傅里叶变换
傅立叶频谱的能量谱的相位角
二维傅立叶变换的傅立叶逆变换的傅立叶频谱维函数变换的二维函数
三维函数功能
PP
2离散傅立叶变换
是有限的，由于时间或空间功能的时间间隔，或截止频率谱的实际问题。横轴至少在超过一定的范围内，该函数的值已成为可以忽略不计。的有效宽度是相同的，所以被划分成小的间隔，连续傅立叶变换，离散傅里叶变换定义的近似数值计算。该一维离散付里叶变换
一维离散傅立叶逆变换
页
两维离散付里叶变换分离性性质：1：
自然的图像
图像
PP
1.3离散傅立叶变换方向/>
二维傅里叶变换可以被分解为两个一维变换的顺序执行。在
PP
性质：泛
空间域翻译：
频域转换：
PP
：BR/>
可以简单地乘以傅里叶变换的原产地移动到一个正方形的中心对应的频率。
（图）
PP
性质：周期性和共轭对称
离散傅立叶变换，变换的周期性周期性的：
傅立叶变换的共轭对称性：
PP
性质：旋转性质
笛卡尔坐标系的改写极坐标形式：
不换人：
如果旋转旋转相同的角度。也就是说，傅立叶变换：
性质的PP
（图）
5：线性性质
：
>PP
性能与图像的关系的意思是
二维的图像灰度均值的定义：
傅立叶变换频谱分量的变换域的起源：
/>：
该图像的平均灰度值吗？倍。
PP
性质：图像拉普拉斯算子处理傅立叶变换
图像拉普拉斯算子处理的定义：
你傅立叶变换的图像拉普拉斯算子处理：PP
性质：卷积和相关定理
卷积定理的一维序列，运营商的卷积定义为：
/>注意定期与傅里叶变换计算函数的卷积，以确保正确的结果的的卷积计算处理序列长度N1，N2是零填充加长N1+N2-1。在序列的两维图象的卷积定理的定义和计算与一维的情况下是相同的。*为卷积象征。
页
定理：
一维，两维的两个离散序列可以写成
相关理论
PP
4个快速傅立叶变换
开始的一维傅里叶变换，另一种表示方法
/>
PP
定义：
：
：
PP
快速傅立叶
（图）
PP
一维傅里叶变换的逆变换：R
：
：
对于变换计算示意图：两维的情况：
PP
§2离散余弦变换（DCT）
内容，首先我们可以看到，傅立叶变换无穷区间的复正弦基函数和信号的整体的频率分布的内产品描述信号，或信号不同的频率可变基函数矢量投影。事实上，根据功能可以是不同的类型，使用不同类型的基函数，以分解的信号（图像）等效。余弦变换是很常见的。的
页
组离散序列偶对称序列作为一个离散序列，根据下述通式扩展：
。为中心的偶对称序列，如下所示。
（图）
PP的
替代范围内的傅立叶变换：
PP该
余弦变换变换核：
写成矩阵形式：（每列模式1）
PP
定义甚至余弦变换（EDCT）和反变换：
/>
PP
维余弦变换：
二维余弦变换的可分性：
以矩阵的形式：
PP
余弦变换傅立叶变换：
分机：
：
余弦变换的傅里叶变换步骤：
BR/>1）扩展到长度;
2）需求点FFT;
3）乘以相应的系数;
4）的实部，并乘以系数;BR/>5）在前款规定采取的，是余弦变换。
PP
余弦反变换：
延拓，
逆变换，
PP§3正弦变换
一维正弦变换核
一维正弦变换
二维正弦变换
的二维正弦变换核
页的
§4沃尔什-哈达玛变换
沃尔什-哈达玛变换变换核的非正弦正交函数（沃尔什-哈达玛）（沃尔什函数），例如，方波或矩形波。正弦波频率等非正弦波形，可用列率（单位时间内的波形通过的平均零的个数的一半），说明相对应。Walsh函数可以由Rademacher函数构成，Rademacher函数集是正交函数系，Rademacher函数的两个独立的变量，表示了一套完整的。
PP
Rademacher函数波形图与矩阵表示
（图）
PP
Rademacher函数结构Walsh函数：
其中：所述的二进制数字
Rademacher函数自然二进制位序列后反写的数字
例如：3位二进制代码，发现
PP
（图）
PP
Walsh函数矩阵形式
变换核矩阵的递推关系（直接产品）：
沃尔什-哈达玛变换的定义：
韦弗沃尔什-哈达玛变换可以表示成一个矩阵形式：
PP
例：
韦弗沃尔什-哈达玛变换：BR/>，
秩序。
PP
例如：
另一种奇异值分解
PP
第5
基于一个二维矩阵的奇异值分解的酉变换：
任何矩阵可以被分解成：
正交矩阵，特征值？的矩阵。
称为奇异值？的矩阵。
PP
矩阵的奇异值分解如下：
顺序为：
特征值吗？，构成或对角线阵列。
矩阵
矩阵的特征向量向量的特征表现为：
PP
矩阵的奇异值分解的级数展开是的矩阵阵列的第一行，即，第一列的矩阵矢量。
（图）
PP的
§6K_L变换
K_L变换，也被称为霍特林变换，主成分分析。
一定的原始变量的线性组合变量之间的关系，构成了一个新的变量，而不是原来的变量的数量相对较少，每一个新的变量包含尽可能多的原始变量的信息。这种方法的问题，主成分分析，一个新的变量的原始变量的主要组成部分。如人脸图像可以表示为：
（图）
PP
主成分分析和线性回归的比较：
观测点传播所示，线性回归的问题是需要找到一个合适的直线的一个点，这样的偏差的平方和最小的总和。
主要成分基本的想法是“最好的”拟合直线的第一个点，这个点到该直线的垂直距离的平方和最小的，他说这条直线的主要成分。然后寻求相互独立的第一主分量（或垂直），并且点的垂直距离的平方，和最小的第二主成分。
PP
（图）振幅图像大小。每一个图像代表矢量：
矢量协方差矩阵的定义为：
包括：
秩序和特征值和对应的特征值。该
特征值减序排列，
行为转变矩阵的特征值变换矩阵如下：
对应的特征向量组成部分。
K_L变换定义为：
转变：
页K_L变换的计算步骤如下：
1求协方差矩阵;
求协方差矩阵的特征值;
3。要求对应的特征向量
4。使用特征向量构成的变换矩阵需求。
PP
KL变换：
输入图像样品采集：每个样本量的维向量（也就是原始图像的行连接在一起，构成一个三维矢量）的快速算法。它也可以看到一个点的三维空间，所述空间的原始图像的空间S其实样本图像具有更大的相似性，因此，在整个样品图像不是
全维空间作为一个整体，但将聚集
的图象空间中，一个相对较小的子空间。的
PP
（图）样品图像原始图像中的空间分布
总体协方差矩阵样品阿特拉斯生产的主成分分析矩阵的整体形象所有样本协方差矩阵：
风格，所有样品的图像的意思。
：满足下面的等式是相应的特征值的特征向量的矩阵。理论，从原始图像空间的线性变换到一个新的特征空间主成分分析的基础上。特征向量构成通过变换矩阵。
PP
直接矩阵的特征值和特征向量非常困难。如果样品的图像数量是不是太多了，你可以计算出二维矩阵的特征值？和??特征向量。
左乘矩阵
然后是矩阵的特征向量。
PP
-碱的空间的主要成分。主成分分析的基础上，你可以选择一个较大的特征值？对应的特征向量（主成分），建立一个新的二维主成分空间。在这个空间的投影的图像的每一个对应于一维的矢量，它们的低恢复的特征向量（主成分）。
PP
总结
傅立叶变换（FFT）的快速算法，最常用的数字图像处理。需要复杂的算法。的整个图像的信息可以由某些系数表示。
余弦变换（DCT）的快速算法，只要现实算术的。在最近的最优K_L变换相关的图像处理，是有用的实现编码和维纳滤波。像DFT，可以达到很好的压缩。
正弦变换（DST）快两倍，比快速DCT。简单的实数运算，出口快速K_L变换算法。常用的编码和过滤。具有良好的压缩效果。
沃尔什-哈达玛变换（WHT）是在数字图像处理硬件实现。很容易地模拟，但很难分析。在图像数据压缩中，过滤，编码应用程序。信息的压缩效果。
K_L变换（KLT）在许多意义上是最好的。没有快速算法。进行绩效评估时非常有用，并寻找最佳的性能。小规模的，如颜色多光谱或其他的特征向量的向量。设置的一组图片均方差的压缩感的最佳信息。
奇异值分解（SVD）的图像信息的压缩效果最好的。没有快速算法。设计有限脉冲响应（FIR）滤波器的最小范数解线性方程组有用的。潜在的应用是图像复原，能量估计和数据压缩。
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离散余弦变换(DCTforDiscreteCosineTransform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFTforDiscreteFourierTransform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)，在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。
有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DSTforDiscreteSineTransform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCTforModifiedDiscreteCosineTransform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
应用
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markovprocesses)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève变换--它具有最优的去相关性)的性能。
例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。
一个类似的变换,改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AACforAdvancedAudioCoding)，Vorbis和MP3音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来接偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
