根据这个定义sin(0)=0, sin'(z)|z=0=cos(z)|z=0=1不等于0，所以是1阶的0——对于z=k*pi都是这样的。
所以f(z)=1/zsin(z)这个函数在z=0时是2阶的奇点，在k*pi,k不为0时是1阶的奇点。
A、z=k*pi,k不为0时候
Res(f；k*pi)= (z-k*pi)/(z*sin(z)) 在z->k*pi时的极限，用洛必达法则。
Res(f；k*pi)=1/(k*pi*cos(kpi))，k是偶数时候留数是1/kpi，k是奇数时候留数是-1/kpi。
B、k=0时候奇点是2阶的
Res(f；0)=(z/sinz)'
在z=0时(z/sinz)'=0
扩展资料：
孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点，那么尽管这些极点本身可以洛朗展开，但它们的极限，即该聚点，不能进行洛朗展开。
自然边界： 任何非孤立点集（如：一条曲线），使得函数不能在它周围解析连续。（如果在黎曼球面上，则函数不能在它外面解析连续。）
实数中当某点看似 "趋近" 至 ±∞ 且未定义的点，即是一奇点x= 0。方程式g（x） = |x|（参见绝对值）亦含奇点x= 0（由于它并未在此点可微分）。同样的，在y=x有一奇点（0,0），因为此时此点含一垂直切线。
一个代数集合在（x,y）维度系统定义为y= 1/x有一奇点（0,0），因为在此它不允许切线存在。
参考资料来源：百度百科--孤立奇点
