这个计算有些麻烦的，不过只要熟悉了反常积分的解题技巧巧妙地构造二重积分(或用我们熟知的贝塔函数)就很容易解出来了
要计算正态分布的期望就要遇到解决积分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函数的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
记A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我们先来计算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作变量替换：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化为
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那么A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π
那么：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一个积分算得0，第二个积分根据上面的结论得 µ，
所以E(X)= µ
还可以用根据第一类欧拉积分与第二类欧拉积分的关系来求解
