1、ε为给定的无限接近于0或者无穷小？
你还处于高中的常量或者单纯的自变量到因变量的思维惯性。其实你换种心态去看这个东西。
每次用这个语言的时候开头是怎么说的，对于任给的正数ε，如何如何。就是这个意思。
其实对于任意这个是数理逻辑里的一个逻辑量词。用ε这个符号是历史原因，你用别的符号都没啥问题。主要是它必须表示的是任给的一个正数。
我举个例子。你要说明-1比所有的正整数都小。你只要证明，对于任给的正整数N，N+1>0所以N>-1。根据N的任意性就可以知道-1比任意的N都小。
欧氏空间最常规情况下的序列的极限是用ε这种方式来给出的，是为了给出极限的一种严格的定义。不要去把ε当作什么所谓的无穷小或者什么，它就是任意给定的一个正数，没有别的。
2.Xn表示N项的值？
我没看懂你问题的意思。Xn一般是表示指标n对应的项Xn。
3.Xn-A绝对值＜ε，表示n项的值-A＜ε
。。。同2。式子字面是什么意思，它就是什么意思。数学不允许模糊不清的内容存在，所以它的每条的意思就是它自身。并没有任何潜台词。你不必想太多。它的意思就是第n项的值到常数A的绝对值距离比ε小，其实关键的地方不在于此，在于你没打出来的更重要的前提条件，这里的n是任给的大于N的正整数，而N是在任意的ε给定前提下写的存在。你姑且可以这么理解：
不管你给的是什么ε，我都能找到个N，使得从第N+1项开始之后所有的项都满足到A的绝对值距离小于你给的ε。【极限的意义在于这个ε控制了无穷多项到固定点A的距离，而ε是任意给定的正数，你想想，你随便给的正数，我都能把无穷多个点塞进去。这不就是说这个数列无限地聚集在这个这个中心附近吗？】
4.见上所述。
初学一时半会儿没搞明白很正常，十几年在没有严格的微积分的世界里呆习惯了、一下出现这种很不一样的思维模式不习惯很正常。下面我给你个小故事，希望对你悟性有帮助。
小学一年级，老师教刚幼儿园毕业的小朋友1+1=2.老师说：“一个苹果+一个苹果是两个苹果。。。所以是1+1=2”。
小朋友大喜，说“原来1是苹果”
老师急了，“不对，你看你把苹果换成香蕉，一个香蕉+一个香蕉是两个香蕉”
小朋友困惑了“1到底是苹果还是香蕉呢”
老师回答说“1可以表示苹果，也可以表示香蕉，可以表示任何可以数出来，相加不会产生别的变换的东西”
小朋友这下完全窘了：“一开始还听得懂，现在我完全不知道1是什么了。老师，1到底是什么阿”
高中一年级，学集合。刚初中毕业的小朋友问老师：“老师，集合的元素到底是什么阿”
老师：“擦，问那么多作鸟。题目会做就好，滚一边去。高考考好点。别钻牛脚尖”
依次类推。小朋友，现在你读大学了
