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【线代题目啊！！！求教！！】A是n阶方阵，A^2=A,证明：A相似于对角矩阵

2020-07-12 社会 109阅读
证明: 因为 A^2=A, 所以 A(A-E)=0
所以 r(A)+r(A-E) <= n.
又因为 n=r(E)=r[A-(A-E)]<=r(A)+r(A-E)
所以 r(A)+r(A-E)=n.
AX=0 基础解系含 n-r(A) 个解向量
(A-E)X=0 的基础解系含 n-r(A-E) 个解向量
所以, A的属于特征值0,1的线性无关的特征向量的个数为
[n-r(A)]+[n-r(A-E)] = n
所以A可对角化, 即A相似于对角矩阵.
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