1、．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=2，求AF的长．
2、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．
3、如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
4、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？
5、如图，矩形ABCD中，AB=150px，BC=200px，将矩形沿着BD方向移动，设BB′=x．
（1）当x为多少时，才能使平移后的矩形与原矩形重叠部分的面积为600px2？
（2）依次连接A′A，AC，CC′，C′A′，四边形ACC′A′可能是菱形吗？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由．
6、如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．
7、如图，已知在△中，，点在边上，，，、分别是垂足
（1）求证：
（2）联结，求证：
8、如图2915，有一辆客车在平坦的大路上行驶，前方有两座建筑物，且A，B两处的建筑物的高度分别为12m和24m，当汽车行驶到C处，CF＝30m时，求司机可以看到的B处楼房的高度？
9、如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标。
10、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
11、已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）
12、如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA﹥OB）的长是方程x2-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）若点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求点C的坐标；
（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似，若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
13、过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC与点E,Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D,求DE的长。
14、如图，在已建立直角坐标系的4×4方格图中，△ABC是格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）．
（1）（3分）求tan∠CAB的值；
（2）（6分）若点P是方格图中的一个格点，且以P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），请在方格图中画出所有满足条件的格点三角形，并直接写出格点P的坐标．
15、如图8，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与AD的延长线交于点Q．
（1）求证：△DQP∽△CBP；
（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．
16、如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=，sinB=，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．
17、（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；
（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；
（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA∶AB＝HA∶AE＝:，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
18、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.
（1）、求证：△COM∽△CBA；
（2）、求线段OM的长度.
19、（本小题满分6分）
如图，已知线段AB,
（1）线段AB为腰作一个黄金三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（友情提示：三角形两边之比为黄金比的等腰三角形叫做黄金三角形）
（2）若AB=2，求出你所作的黄金三角形的周长.
20、如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:∽；(2)求的值；
21、如图，⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
(1)设∠BPC＝α，如果sinα是方程5x－13x＋6＝0的根，求cosα的值；
(2)在(1)的条件下，求弦CD的长．
参考答案
一、简答题
1、【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，再由已知条件和邻补角关系求出∠AFD=∠C，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AD=AB=BC=2，由勾股定理求出AE、DE，再由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=2，
∵AE⊥BC，E为BC中点，
∴AE⊥AD，BE=BC=1，
∴∠DAE=90°，AE==，
∴DE==，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
即，
解得：AF=．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
2、考点：相似三角形的判定与性质．
分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与S△ADE=3，S△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
解答：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…（1分）
∴∠ABE=∠DEB．
∴BD=DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴…（1分）
∴，
∴AE•BC=BD•AC；…（1分）
（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴，…（2分）
∵DE∥BC，
∴．…（1分）
∴，
∴BC=10．…（2分）
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3、解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴=，
∵AB=6，AD=4，
∴AC===9，
则CD=AC﹣AD=9﹣4=5．
4、(1)∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°.
∴∠APQ=∠CDQ，∠PAQ=∠DCQ，AC==10.
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t=5时，DP⊥AC.
∵∠ADC=90°，
∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°.
又∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD.
∴=，则AQ===2.
∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，
∴△AQP∽△ABC.
∴=，则=，解得t=5.
即当t=5时，DP⊥AC.
5、解：（1）∵B′E∥AB，
∴△DB′E∽△DBA．
∴，
∴B′E=（10﹣x）．
同理：B′F=（10﹣x）．
∴（10﹣x）•（10﹣x）=24．
解得x=10±5．
∵x=10+5＞10，不符合题意，舍去，
∴x=10﹣5时，重叠部分的面积为600px2．
（2）四边形A′ACC′可能是菱形．
∵矩形ABCD沿BD平移后矩形A′B′C′D′，
∴AA′∥CC′，且AA′=CC′．
∴四边形A′ACC′是平行四边形．
∵AB∥A′B′，AB=A′B′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形．
∴BB′=AA′．
∴当BB′=10时，AA′=AC=10，此时四边形A′ACC′是菱形．
6、试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2=AD•AC．
7、
8、解：∵△CEF∽△CDG，∴＝，
DG＝＝＝18(m)．
∴C处汽车司机可看到的B处楼房的高度为
24－18＝6(m)．
答：C处汽车司机可看到的B处楼房的高度为6m.
9、（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得
∴抛物线的解折式为
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为即E点的坐标（，）又∵点E在直线上∴解得（舍去），∴E的坐标为（4，3）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）易知D点坐标为（－2，0）由Rt△AOD∽Rt△POA得
即，∴a＝∴P1（，0）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE
由得解得，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）
（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．易知直线AB的解折式为∴由得∴M（，－）……
10、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的半径，
∴AB=PC，
∵△PCD∽△ABC，
∴△PCD≌△ABC；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴=，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
11、证明：（1）∵，∴∠．
∵∥，∴，．
∴．
∵，∴△∽△．
（2）由△∽△，得，∴．
由△∽△，得．
∵∠∠，∴△∽△．∴．
∴．∴．
12、
13、22（略）
14、
15、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC···············1分
∴∠QDP=∠C，·······························2分
又∠QPD=∠BPC·······························3分
∴△DQP∽△CBP······························4分
（2）∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD,····················6分
∵AB=CD=8,∴DP=4.····························8分
16、解：（1）在Rt△ABC中，sinB=，AB=
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；……3分
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴；……5分
设PC=x，则DC=，AD=
∴S△ADP=AD•PC=•x=-x2+x=-(x-2)2+1……7分
∴当x=2时，y的最大值是1．……8分
17、
（1）HD:GC:EB＝1::1……………………………3分
（2）连结AG、AC，∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，∴AD:AC＝AH:AG＝1:
∠DAC=∠HAG=45°，∴∠DAH=∠CAG…………………………………………………………4分
∴△DAH∽△CAG,∴HD:GC＝AD:AC＝1:……………………………………………5分
∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE，又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE，∴HD=EB
∴HD:GC:EB＝1::1………………………………………………………………………6分
（3）有变化，HD:GC:EB＝……………………………………………………8分
18、1）证明：A与C关于直线MN对称
ACMN
∠COM=90°
在矩形ABCD中，∠B=90°
∠COM=∠B
又∠ACB=∠ACB
△COM∽△CBA
（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8
AC=10
OC=5
△COM∽△CBA-
OM=
19、（1）可分为两种情况：腰与底之比为黄金比及底与腰之比均为黄金比的等腰三角形均可（图略）
（2）当腰与底之比为黄金比时，周长为，当底与腰之比为黄金比时.
20、（1）略；（2）19．51
21、（1）、∵sinα是方程5x－13x＋6＝0的根
解得：sinα=2（舍去），sinα=
∴cosα=
（2）连接BC
∵∠B=∠C,∠A=∠D
∴△APB∽△DPC
∴
∵AB为直径
∴∠BCA为直角
∵cosα=
∴
∴CD=8
