A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I，这个就是正交矩阵的定义，对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了。
正交矩阵A与其转置相乘，得到的是一个对角矩阵。其对角线上的元素就是矩阵A内每一列向量的模的平方。如果A是单位正交矩阵，则A与A的转置相乘得到的恰好就是单位矩阵。
矩阵a的转置矩阵a^t等于a的逆矩阵a^-1
那么aa^t=aa^-1=e
设a=(αzhi1，α2，α3，...，αn)^t，其中αi为n维列向量
那么a^t=(α1，α2，α3，...，αn)，
α1^tα1，α1^tα2，α1^tα3，...，α1^tαn
α2^tα1，α2^tα2，α2^tα3，...，α2^tαn
那么aa^t=()=e，
αn^tα1，αn^tα2，αn^tα3，...，αn^tαn
那么||αi^tαi||=1，||αi^tαj||，i≠j
也就是说a的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设a=(α1，α2，α3，...，αn)时用a^ta=e可以证明a的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交，这样的矩阵叫做正交矩阵，也就是说a必须是单位矩阵才满足a^t=a^-1
扩展资料：
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4、A的列向量组也是正交单位向量组。
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
参考资料来源：百度百科-正交矩阵
