上面几个回答都是狭义相对论的最基本公式，而非广义相对论。
你可以看一下这个网页：http://202.116.65.193/jinpin2005/wuli/web/websource/13.doc
一下使该文件内容，可能有公式贴不上来。
3.1 等效原理
第一章1.7节曾经提到,牛顿万有引力可以用引力场来描述.位于的质点感受到的引力决定于处的引力场,
(3.1)
参数称为引力质量,描写质点对引力场响应的强弱.当质点只受到引力作用而加速运动时,称质点作自由落体运动.例如断了线的升降机,围绕地球转动的月亮等.
根据牛顿第二定律,自由落体的加速度为
(3.2)
参数描写质点被加速的难易程度,称为惯性质量.实验指出,在同样的引力场中,引力使物体产生的加速度与物体的质量无关.这意味着对任意两个物体和有普适的比例常数
(3.3)
不妨令它等于1,即
(3.4)
在牛顿力学中,引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数.他们严格相等在牛顿力学中没有办法解释.
设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点,因而这些质点不受任何力的作用,故他们相对惯性系没有加速度.考虑一个相对作匀加速运动的参照系.相对于,上述所有质点具有相等而且平行的加速度.静止在的观测者看来,好像参照系没有加速运动,而质点受到一个均匀引力场作用一样(因为惯性质量等于引力质量,所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样).且不管产生这种引力的原因,从效果上没有任何理由阻止我们认为存在真实的引力场和是一个和惯性系等价的没有加速度的参照系.参照系和在物理上完全等价的假设是爱因斯坦提出来的,称为等效原理.
等效原理使惯性系和非惯性系(相对惯性系加速的参照系)完全平等起来 ,是观念上的极大进步.在这个假设下,无所谓惯性系和非惯性系,参照系都是一样的.质点在不同参照系有不同的行为,只是因为不同参照系引力场的强度不同.注意,我们这里说"引力场的强度不同"而不说"引力场不同",是希望避免与"引力场是一种客观存在,因此与参照系无关"相矛盾.我们仍然可以认为引力场是一种与参照系无关的客观存在,但它在不同的参照系种表现出不同的强度.在狭义相对论中,我们遇到过类似的例子:一把尺子是客观存在,但在不同惯性系却可以表现出不同的长度.我们将稍后再讨论引力场和空间几何的关系,以及为什么会出现引力场.
显然不是所有引力场都可以通过简单的加速参照系变换来抵消.例如没有一个加速参照系能看到完全为零的地球引力(习题【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.爱因斯坦假设,在质点所在的无穷小空间邻域中,引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉,固定在该质点上的参照系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系,其中引力等于零,狭义相对论成立.
等效原理:
(1)均匀引力场等效于一个加速参照系中的惯性力场;
(2)固定在自由落体上的参照系是一个局域惯性系.
3.2 弯曲空间
◆爱因斯坦转盘
在惯性系中制备的一些相同的尺子(每把尺的长度为米),分别沿半径和圆周摆放.
设圆盘相对地面静止时需要用把尺子摆满半径,把尺子摆满圆周.按照欧几里德几何,周长和半径之比为
(3.5)
当圆盘以角速度转动时,圆周处的线速度为.因为转盘是一非惯性参照系,我们现在还不知道非惯性参照系的时空几何学和其他所有自然定律,只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律.根据狭义相对论(参见第二章例2-2),在地面惯性系中测得圆周上的尺子长度为
(3.6)
因此转动圆盘上的人需要多一些尺子才能摆满圆周,设需要尺子的数目为().对于转盘上的人,有两种观点可选择:1)仍然采用地面惯性系的长度标准,以不转动的尺子为长度单位;认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度,而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样,即 ;2)不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动,坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度(把它作为转盘参照系中的长度单位);因而圆盘转动时圆周的长度和静止时的不一样.对于转盘参照系,按第一种观点,本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度,转盘上的人做长度测量时需要考虑另一个固定的参照系.而按第二种观点,尺子的长度与它所处的位置及运动状态无关,长度的测量与单个参照系有关.因为第二种观点避免了一种特殊的有优越性的参照系,所以显得自然一些.
在地面惯性系中测得沿半径摆放在转盘上的尺子长度不变,仍为,因此摆满半径所需的尺子数目仍为.如果转盘上的人采用第二种观点,即认为标准尺的长度是不变的,就会得量出周长和半径的比为
(3.7)
依这种观点,转盘参照系的几何不是欧几里德几何.
再考虑两个相同的时钟,一个放在圆心,一个放在圆周.按照狭义相对论(参见第二章例2-1),当圆盘转动时,地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些.离圆心越远,时钟越慢.和前面关于尺子和长度测量的讨论相似,转盘上的观察者可以自然地认为时钟的时间单位(比如一个时钟周期)没有变,仍然代表同样地时间间隔,但转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的变慢了.
■
在转盘上引入非欧几何不是必须的,因为转盘相对一个惯性系转动,一切时间和尺度都可以用惯性系中的时间和尺度,空间几何以惯性系的欧几里德几何为准,即和上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位.
但是等效原理告诉我们,圆盘的加速运动等效于引力场.因此引力场同样可以使空间变成非欧几里德空间.存在不能通过参照系变换使之处处为零的引力场,它的效应不能通过参照系变换从全空间消除掉,故对这样的引力场非欧几里德几何是必须的.
为了容易想象弯曲空间,我们假设空间是二维的.图3-2是弯曲空间的一个例子.把曲面镶嵌在高维欧几里德空间,用高维空间(三维空间)的笛卡儿坐标描写曲面是可以的.但高斯提出一种更漂亮的描写方法,即在曲面上直接建立曲线坐标.高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何,不需要人为地增加内容,类似于广义相对论只在一个参照系描写空间结构(和物理规律),优越性是明显的.
A
A M
B B
我们所讨论的曲面假定是连续可微的,每一点附近的小邻域可以用一平面(图3-3b中的M)近似.在数学上这种曲面称为二维微分流形.图3-2a的苹果如果没有破皮,而且把蒂去掉,其表面就很接近一个2维微分流形.
普遍地,可以把流形想象为一个局部光滑的空间,空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间.这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标,为流形的维数.对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念,无穷小距离平方定义为
(3.8)
对笛卡儿坐标作任意连续可微变换
(3.9)
代入(3.8)得维流形的间隔平方可写成
(3.10)
其中函数由流形的几何性质和所选坐标架所决定,称为度规矩阵,或简称度规,
(3.11)
有了之后,流形便有确定的形状和距离的概念,即确定流形的度量性质.具有度规的流形称为黎曼流形.
◆例3-1 求球面流形的度规.
【解】采用球坐标,设球的半径为.易见
(例3.1)
所以
,, (例3.2)
■
物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质.观察者在引力场中作自由落体运动,他附近的小邻域里不存在引力场.因此总能将时空流形的一个小邻域当作欧几里德区域,在那里建立惯性参照系(自由落体参照系),其中狭义相对论成立.根据狭义相对论,两个无限接近事件的间隔,即(3.10)式定义的,是一个不变量,与局域惯性系的选择无关.按照度规的定义,在任意连续可微坐标变换下亦也不变(习题【3.2】).任意物理的参照系变换都可以用连续可微坐标变换给出,所以在任意局域参照系变换中不变.这些变换可以是非线性的,非均匀的.局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的,不同的几何由不同的度规张量场表现出来(所谓张量场就是给每点都指定一个度规张量).度规场反映了参照系的不同选择,也反映了空间的几何结构.最简单的度规矩阵为单位矩阵,
(3.12)
当度规矩阵为单位矩阵时,参照系为局域惯性系,在其适用的局域范围内引力场强度为零.经非线性坐标变换后,单位度规矩阵变成非单位矩阵,它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度.因此是和引力场相联系的.
曲面的整体拓扑性质也是很有趣的.存在非平庸拓扑的曲面,它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的.球面就是一个非平庸拓扑的曲面.相反,圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的.根据引力和几何的关系,如果空间是二维的球面,则空间必须存在引力场;如果空间拓扑和圆柱面一样,则整个空间原则上(数学上)可以没有引力场.
3.3 弯曲空间的矢量分析
(1)张量的定义
考虑一般坐标变换
(3.13)
无限小位移在一般坐标变换下如下式变换:
(3.14)
重复指标均隐含求和,以后不再特别声明.
按定义,反变矢量由四个分量组成,它的分量在坐标变换下如(3.14)式一样变换
(3.15)
曲线的切线(例如图3-2b曲线AB的切线),选择适当参数就是四维速度矢量
(3.16)
易见它是一个反变矢量(在坐标变换下不变).
由四个分量组成的对象,其分量在坐标变换下如下式变换:
(3.17)
则称它为协变矢量.注意我们总是用上标表示反变矢量,下标表示协变矢量.
反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量
(3.18)
易证,在坐标变换下不变.
所有张量都通过它的分量的变换方式来定义.例如的变换方式为
(3.19)
(2)基本张量——度规张量
度规矩阵是对称的协变张量.
◆【证明】
(3.20)
在新坐标中,
(3.21)
因为是不变间隔,所以.比较(3.20)和(3.21)得
(3.22)
故是一个协变张量,称为协变度规张量.
(3.22)可以写成
(3.23)
最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到.(3.22)减上式得
上式对任意小量成立,故,即度规张量是对称的.
■
度规矩阵的逆矩阵由下式定义,
(3.24)
因为的两个指标都按(3.15)式变换,故称为反变度规张量.易见它也是对称的.
有了协变和反变度规张量,我们可以把反变矢量(指标)和协变矢量(指标)一一对应起来,
, (3.25)
, (3.26)
因此,一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示,分别称为矢量的两个表象:反变表象和协变表象.例如,我们把(3.25)式中的和看作同一个矢量的两种表示.
(3)不变体积微元
度规矩阵的行列式记为.可证,
(3.27)
其中是从坐标变到坐标的雅戈比行列式,
(3.28)
右边指标是矩阵元的行指标,为列指标.
雅戈比行列式也出现在体积微元的变换中,
(3.29)
因此,在坐标变换下不变,称为不变体积微元.
(3.30)
(4)矢量平行移动与仿射联络
如何比较空间不同点的两个矢量呢
这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的:把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置,再按平行四边形法则求他们的差.因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间,故所谓矢量的平行移动,可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.
但在弯曲空间,不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念.为了确定不同点的矢量平行与否,必须规定一种平行移动的法则.图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络.图3-4(a)中,一个与球面切于北极(a)点的矢量沿大弧abc移动,在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc相切的特征.可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动.再看图3-4(b),北极上同样的矢量,沿另一条大弧adc移动,在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc的切线正交的特征.可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动.但是我们看到两个过程在南极c点产生的矢量是不同的.可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行.但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的.粗略地说,仿射联络是一种平行移动的法则,矢量按此法则沿一条曲线移动时方向不改变.
a a
b d
c c
在无限小的区域,弯曲空间近似平直,因此和欧几里德空间的情形相似,矢量的无限小平行移动由初始矢量和位移矢量所确定.示意于图3-5.
考虑处一反变矢量,利用处坐标架的单位方向矢量可把矢量可写成
(3.31)
矢量被平行移动到处,成为该处的一个反变矢量.
(3.32)
把平行移动引起的矢量分量的变化写成
(3.33)
则
(3.34)
其中带有三个指标的函数称为仿射联络(克里斯托菲(Christoffel)符号).矢量必须象矢量一样变换,这要求具有下面的变换性质,
(3.35)
可见,不是一个张量.至此,除了(3.35)式的限制外,没有其他限制.易见,如果原来的对两个下标是对称的,经过任意变换后这种对称性仍然保持.对平直的欧几里德空间,等于零,所以对其下标一定是对称的.我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似,是所谓黎曼流形,故只需考虑的情形(数学上称为无挠性).物理时空是有距离概念的,可以如(3.11)那样引入度规张量场.能够保证矢量的标积在平移时保持不变的唯一地被度规张量所确定,
(3.36)
(5)协变微分
考虑反变矢量场.普通微分不是一个张量,因为在坐标变换下,
(3.37)
第一项如张量一样变换,但第二项不是.
我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量.为了反映矢量场局域空间变化,用处的矢量减(由从平移到所得的矢量,见(3.34)),
(3.38)
这是一个反变矢量,称为反变矢量场的协变微分.在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量.
(3.38)式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数,
(3.39)
右边两项分别都不是张量,但合起来却是一个张量.以后"分号"一般都表示协变导数.如果空间是平坦的,可以选取不随时空点变化的度规张量,使得仿射联络等于零(见(3.36)),此时协变导数和普通导数一样.因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参照系,不同的坐标架,所以需要(3.39)式右边的第二项才能保证(3.39)式具有张量的变换性质.
协变微分可以表示为
(3.40)
如果,则是平移得到的矢量.
类似可以得到协变矢量的协变导数
(3.41)
注意(3.39)和(3.41)式第二项符号的差别.
协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式
(3.42)
类似推理可以得到张量的协变导数,
(3.43)
对张量求协变导数的规律是:第一项是普通导数;然后张量的每一个指标都对应有一项,由和张量相乘得到,上标为负,下标为正.注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数.标量也服从这个规则,因为标量没有指标,故只有普通导数项.
(3.44)
一个重要的结果是,度规张量的协变导数等于零(习题【3.3】),
(3.45)
(6)曲率张量
如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢
A
A s
s
B
B C C
在平直空间,把矢量沿一闭合回路平行移动一周,矢量方向和大小都不变.例如图3-6a中的矢量沿路径ABCA平行移动一周.在弯曲空间,如图3-6b,矢量沿回路(图中的ABCA)平行移动一周后,和原来出发时的矢量不一样.这是空间弯与不弯的根本差别.
考虑弯曲空间的一个无限小平行四边形,一反变矢量沿四边形边界平行移动一周.如图3-7.
可以证明,当矢量平行移动回到时,矢量的改变量为
(3.46)
推广到任意回路,上式成为
(3.47)
即沿无限小回路平移一周后,矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积,其比例系数称为四阶黎曼曲率张量,由仿射联络及其导数给出,
(3.48)
空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式,称为毕安基(Bianchi)恒等式,
(3.49)
对的指标和缩并,得到一个二阶里兹(Ricci)张量
(3.50)
总曲率(标量)等于里兹张量的缩并(先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来)
(3.51)
◆例3-2 在半径为的球面上,采用球坐标和.度规张量已在例3.1中给出.求仿射联络和曲率标量.
【解】仿射联络的非零分量有:
, (例3.3)
曲率标量为
(例3.4)
■
3.4 短程线
以上3.2和3.3节基本上是数学内容.现在回到物理问题:在引力作用下质点的运动.
根据爱因斯坦的设想,当空间的几何知道后,自由质点(除了引力之外,不受其它力作用的质点)的运动便由空间的几何完全确定了.先介绍可以通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.
给定一个初始位置和一个初始速度,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线.如(图3-8),(1)从A点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B;(2)沿速度方向将A点的速度矢量平行移动到B点,得到B点的速度矢量;如此类推便可得到整条曲线(图3-8).这样通过空间几何(由仿射联络给定)自然定义的曲线称为短程线.
A
B
C …
A:,
B:,
C:,
若质点沿短程线运动,则四维速度矢量作平行移动.可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量(同一个矢量放在时空不同的位置可以有不同的分量,因为坐标架变了).这种运动相当于平坦空间的惯性运动.作为伽利略惯性定律的自然推广,广义相对论假设:自由落体沿短程线运动.
按照这一假说,质点作自由落体运动位移无限小距离之后,速度分量的改变等于速度矢量平行移动同样距离的分量变化.在(3.33)中取为四维速度,即取,便得到
(3.52)
设质点平移所需原时(固有时)为,上式可写为
(3.53)
或
(3.54)
此即短程线方程,即仅受引力作用的质点运动方程,它决定自由落体质点的加速度.
可证,如果质点从一点移动到另一点的路径是短程线,则移动过程所用原时取极值(附录3-1).因为这个原因,我们称这样的路径为短程线.
B
A
数学上,原时取极值的路径所满足的方程(3.54)可以通过变分方法求得
(3.55)
因为光速是最高速度,质点的初始四维速度矢量是类时的,在运动过程中也一定是类时的,因此,即对任意物理运动,原时都是正的.
3.5 爱因斯坦引力场方程
引力就是空间的弯曲.而空间的弯曲由度规场描写,因此度规场等价于引力场.现在要回答一个关键的问题:如何确定引力场(即)呢 依据有三:
1. 广义协变性原理:物理学方程在所有参照系中形式不变;
2. 引力场方程是定域的——是一组偏微分方程,而且关于的偏微分应该不高于二阶;
3. 在弱引力低速运动的情形回复到牛顿引力理论.
回忆牛顿引力理论,放在原点质量为的质点在产生的引力势(第一章(1.31)式)
(3.56)
此式和点电荷产生的库仑势比较,数学形式是一样的.质量对应于电荷,表示质量能产生引力场.有一定空间分布的质量(质量密度为)产生的引力场可以由(3.56)式的积分得到
(3.57)
可证它满足泊松方程,
(3.58)
这是牛顿的引力场方程.方程的左边是关于引力场的二阶微分方程,右边是物质的密度.这个特征应该反映在广义相对论的引力方程中.(3.58)不含时间,可以认为是物质静止参照系中引力场方程的某种近似.在运动的惯性系中,物质密度变成物质流密度(单位时间流过单位横截面积的质量).在狭义相对论中,质量即能量,故场方程的右边和物质的能量密度和能流密度有关.而单独的能量和能流密度不能形成协变的四维张量.对连续分布的物质,与物质的能量密度和能流有关的张量是物质的能量-动量密度张量.所谓"物质的"是指引力场之外的能量和动量,以后我们简称它为能量-动量密度张量.是一个对称的二阶协变张量,对应能量密度,()对应方向的能量密度流或方向的动量密度(他们成正比),()对应方向的动量密度沿方向的流.这里用"对应"一词是因为可能相差比例常数.能量-动量密度张量的具体形式要知道相互作用的理论才能写出来.能量-动量守恒定律表示为
(3.59)
事实上因为协变导数中除了普通导数外还有仿射联络项,物质能量-动量并不严格守恒.能量-动量可以在物质和引力场之间交换.
让出现在场方程的右边,左边应该是一个与引力场(度规)有关的二阶张量,它的协变微分等于零.这个张量只能含有度规的二阶偏导数.爱因斯坦找到这个张量,
(3.60)
可以证明它的协变微分等于零.把它和能量动量密度张量联系起来,得到著名的爱因斯坦广义相对论引力场方程
(3.61)
为牛顿引力常数.右边系数的选择使得方程在弱引力场和缓变近似下回复到牛顿引力理论(附录3-2).爱因斯坦最早写出的方程还多出一项,
(3.62)
最后一项称为宇宙项,为宇宙常数.宇宙项不违反上述对场方程的一般性要求,也没有物理上的理由排除它.爱因斯坦当年希望得到一个宇宙的稳态解,所以加上这一项.1922年弗里德曼(A. Friedmann)发现,如果宇宙的曲率半径是时间的函数,则可以不加入宇宙项.爱因斯坦为此很后悔加上了宇宙项.但最近的实验表明,宇宙常数很可能不等于零,而且是一个非常大的数,不过它只在非常大的宇宙尺度引起物理效应.
注意,能量-动量密度张量不包含引力的贡献.在所谓真空(除引力场无其他物质)中,场方程(3.61)成为
(3.63)
这是关于引力场的非线性二阶偏微分方程.真空场方程除了平庸的平坦空间解外,还有引力波解.引力波的存在至今还没有得到实验直接证实.
关于广义相对论更详细的初级读物有郑庆璋,崔世治编著的《广义相对论基本教程》(中山大学出版社1991).
习题
【3.1】简单说明地球的引力不能被转动坐标系抵消.
【3.2】按照度规的定义(3.11)式,证明在任意连续可微坐标变换下不变.
【3.3】度规张量的协变导数等于零,即(3.45)式.
【3.4】推导例3-2的结果.
