矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数吗

2022-04-19 综合 294阅读

矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

证明如下:

因为AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵.

所以|AB|=|BA|=1.

当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,

有|B|=1/|A|.

扩展资料:

逆矩阵的性质定理以及证明

性质定理

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T(转置的逆等于逆的转置)

5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明

1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。

2、设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C

3、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

4、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。

矩阵A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。

5、1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O

而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O

2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I。

得B-C=O,即B=C。

参考资料:百度百科-逆矩阵

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