比如非欧几何,它并不是说第五公设（平行公理）是错的,而是说它与前面的公理独立,不能由其他公理推出.非欧几何就是满足其它公理,但唯独不满足平行公理的几何.非欧几何的存在证明了第五公设不是一个定理,而是公理.从而结束了人们试图证明它的努力.
凑合说几个例子吧：
毕达哥拉斯学派认为任意两条线段可公度（这实际上否定了无理数的存在）.但被希伯索斯推翻了（他因此被投入水中,恐怖吧!）.实际上,无理数比有理数多.
很长一段时间内人们都在寻找一元五次方程的一般代数解,后被阿贝尔证明这不可能.
人们曾认为连续函数只能有少数点不可导,但外尔斯特拉斯举出了处处连续不可导的函数例子,后来发现这样的函数（病态函数）远比常见的可导的函数多.
举一个不严谨导致错误的例子：
求和：S=1-1+1-1+1-……
正确结论是这个和不存在（因为它的部分和不收敛）.但在严格的极限理论建立以前人们得到过许多错误答案.甚至连大师欧拉也误认为S=1/2 !
