积分中值定理与拉格朗日定理是两个不同的定理，积分中值定理是积分上的一个定理，拉格朗日定理是微分上的一个定理（罗尔定理是中值定理的特殊情况）。具体看看两个定理的内容。
1、积分中值定理：
证明：
因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数， 设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，于是
m≦f(x)≦M
将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得积分中值定理m(b-a)≦∫下限a 上限 b f(x) dx≦M(b-a)
即 m≦∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≦M
因为 m≦f(x)≦M 是连续函数， 由介值定理，必存在一点 ξ， 使得
∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ)
即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)
2、第二积分中值定理:
推论
若(1)f(x)在[a,b]单调,
(2)g(x)在[a,b]可积,
则存在c属于开区间 (a,b),使 f(x)g(x)在[a,b]积分值等于f(a+0)乘以g(x)在[a,c]积分值与f(b-0)乘以g(x)在[c,b]积分值之和.
3、拉格朗日定理
