1、arctanx 的麦克劳林级数展开式,必须分三段考虑:
-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞
2、分成三段的原因是:
(1)、在展开过程中,必须先求导,再积分;
(2)、在求导跟积分之间,必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式;
(3)、运用等比求和公式时,必须考虑收敛与否,因此必须分成两部分:|x| < 1、|x| ≥ 1;
(4)、在 |x| ≥ 1 时,有必须考虑积分的下限问题,因此还得再分为二。
展开方式如下
当|X|<1时,
当X≤1时,
当X≤-1时,
扩展资料:
函数展开成幂级数的一般方法是:
1、直接展开
对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数,我们就可以将函数写成 x−1 的函数,然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。
3、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如 coshx=(sinhx)′,它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
5,利用级数的四则运算
例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2,它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
参考资料:百度百科-幂级数