如何将函数f=arctan展开成x的幂级数

2020-08-03 综合 467阅读

1、arctanx 的麦克劳林级数展开式,必须分三段考虑:

-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞

2、分成三段的原因是:

(1)、在展开过程中,必须先求导,再积分;

(2)、在求导跟积分之间,必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式;

(3)、运用等比求和公式时,必须考虑收敛与否,因此必须分成两部分:|x| < 1、|x| ≥ 1;

(4)、在 |x| ≥ 1 时,有必须考虑积分的下限问题,因此还得再分为二。

展开方式如下

当|X|<1时,

当X≤1时,

当X≤-1时,

扩展资料:

函数展开成幂级数的一般方法是:

1、直接展开

对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。

2、通过变形来利用已知的函数展开式

例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数,我们就可以将函数写成 x−1 的函数,然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。

3、通过变量代换来利用已知的函数展开式

例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式

例如 coshx=(sinhx)′,它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。

5,利用级数的四则运算

例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2,它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。

参考资料:百度百科-幂级数

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