若x服从正态分布，为什么∑ (i=1→n)（xi-x拔）∧2服从卡方（n-1）分布？

因为S²=1/(n-1)∑(Xi-X拔)²，而且(n-1)S²/σ²～χ²(n-1)，又因为σ=1，∑(Xi-X拔)²～χ²(n-1)，根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则 (X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从正态分布 N(0,1) ∑(Xi-μ)2/σ2 。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料

卡方分布性质：

1、分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.

2、分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。

3、不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

4、若互相独立，则：服从分布，自由度为；

5、分布的均数为自由度，记为 E() =。

6、分布的方差为2倍的自由度()，记为 D() =。

参考资料：百度百科—卡方分布