Y=(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)
解题如下：
X~N(0,σ^2)E(X1+X2)
=EX1+EX2=0D(X1+X2)
=DX1+DX2
=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)
同理：X1-X2~N(0,2σ^2)
所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)
所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)
代表自由度为n的卡方分布
同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)
令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)
而这就是F(1,1)分布的定义
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)
若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。
扩展资料：
从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照 分布的定义，应该服从参数为的分布。
如果将总体中的方差σ2 用样本方差 s2代替，它是否也服从 分布呢？理论上可以证明，它是服从 分布的，但是参数 不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1
参考资料：百度百科-卡方分布
