你和机关签订的劳动合同应该属于劳动法调整的。
你说的情况，我归纳两点：
1、合同到期后没有继续签订劳动合同，但是用人单位和劳动者都是在实际履行这劳动关系。根据新脊洞劳动合同法，这样的情况，在一年以内用人单位辞退劳动者的，劳动者有权要求用人单位支付此期间的双倍的工资，即你工作了11个月了，用人单位除支付你剩余的工资以外，再支付给你11个月的工资。
超过一年的，根据劳动合同法司法解释，视为签订无固定期限劳动合同。
你的合同期从2006年6月1日到2008年5月31日止。
2、补偿的问题。劳动者被辞退的用人单位应依法支付经济补偿金，计算方式就是按照一年一个月的标准，你的情况就是两年合同期，应该有两个月的补偿，另外蔽拍的就是合同未签订期间，也是按照这个计算的，超过6个月的算一年的工龄，不到6个月的算半年的工龄，如果8月份你被辞退，那么依法应当发给你补偿金如下：
未签订劳动合同的补偿，08年6月1日到现在的，仅2个多月，那么就应该计算为这个2个多月的工资。然后就是樱并枯你的补偿，一年一个月，你剩余的这个两个月不到6个月，算半个月，就是2个半月。
