如何由波方程，得出电场偏振方向

在这一部分，我们利用简单的平板光波导结构来化简波方程。我们将利用偏振的m模（只在艿方向存在电场）来求解波方程。tm模（只在y方向存在电场）的求解过程与之类似。　　将式（4-53）在笛卡儿坐标系下展开，可以得到　　　　因为对于tem波来说，其电场与磁场是正交的，所以选择合适的坐标轴可以简化数学运算。tb模的电场只存在于艿方向，并且在豸方向均匀分布，且平板光波导在石方向被认为是无限的。我们限制光波沿在这一部分，我们利用简单的平板光波导结构来化简波方程。我们将利用偏振的m模（只在艿方向存在电场）来求解波方程。tm模（只在y方向存在电场）的求解过程与之类似。　　将式（4-53）在笛卡儿坐标系下展开，可以得到　　　　因为对于tem波来说，其电场与磁场是正交的，所以选择合适的坐标轴可以简化数学运算。tb模的电场只存在于艿方向，并且在豸方向均匀分布，且平板光波导在石方向被认为是无限的。我们限制光波沿着z方向传播，则式（4-56）可以化简为　　这意味着矢量波方程化简为标量波方程。将式（4-57）代入式（4-53），可以得到　　因为在艿方向只存在电场，我们可以将场方程写为　　这意味着电场在豸方向偏振，在y方向有变化（我们下面再研究），沿着z方向以传播常数卩进行传播，同时随时间还具有召jα的正弦变化。　　将式（4-59）对z取二次微分得到　　同样，将式（4-59）对t取二次微分得到　　注意，这里n和ky被加上下标j，当j分别等于1、2、3的时候，则依次代表上包层、芯层、下包层。　　这样，我们为了求解光波导模式，就要分别在上包层、芯层、下包层三种媒质中求解特征值方程，并应用边界条件来确定解。方程解具有式（4-59）的形式，即　　边界条件是电场e及其微分形式de/dy在边界处连续。这样由于电场的连续性，我们用式（4－69）～式（4－71）在边界y＝±h/2处求解，由式（4－69）和式（4－70）在边界y=（h/2）处可得　　应用边界条件来决定电场在y方向的变化，在上包层，我们得到　　至此，为了保留一般性，我们用指数形式（代表正弦波和余弦波函数）来描述光波导芯层的场分布，为了将芯层的模场可视化，我们用正弦或余弦形式来描述更为方便。余弦函数表示的模式代表偶阶模，因为余弦函数是偶函数；同样，正弦函数表示的模式代表奇阶模，因为正弦函数是奇函数；因为基模是偶阶模，我们用余弦函数表示。对奇阶模的处理方法也基本相同。这样，我们将式（4-72）的右边化为余弦形式，写成　　现在对于eu有两个表达式，式（4-73）和式（4-76）；对于马也有两个表达式，和式（4-77），分别令凡和马的两个表达式相等并求解，最后得到　　在考虑模场形状之前，我们再来分析一下传播常数丸。在求解波方程的过程中，我们在上包层、芯层、下包层中均利用传播常数来定场解，但是并没有说明为什么；下面再来考虑一下式（4-66）和式（4-67），它们分别为　　在上包层、芯层、下包层中庀y分别取不同的形式。在包层中ky取实数，而在芯层中ky，取虚数；这在数学上对应着β大于或小于konj，的情况。我们知道ej代表正弦或余弦形式的传输场，而e-相应于指数衰减的场。虚传播常数在包层中也是波方程的解，代表模场沿y方向深入到包层，不对应全内反射，这种情况我们将其忽略，即不认为这是模场的解。　　这样我们对平板光波导的模场就有了更进一步的了解：模场并不是完全限制在芯层中传播的，而是要穿透包层一定的深度，这个深度由包层中的衰减常数（即包层中的传播常数）决定；这样，当电场场向前传播的时候，部分场分布在包层中传播。