首先说说朝鲜和韩国这两个名字的由来。
“朝鲜”是朝鲜半岛历史上最后一个王朝——李氏王朝（14世纪后期至20世纪初）的正式国号，取“朝日鲜明”之意（因为李朝是明朝的属国，在开国初期求明太祖朱元璋册封时，因其在大明之东，即日出之方向得此名），因此李氏王朝又称朝鲜王朝。
“韩”是朝鲜半岛南部原住居民的自称，也就是说是我国所称的朝鲜族这个民族的自称，就像我们自称华夏族、汉族一样。历史上朝鲜半岛的统一政权称为韩国的时期很短，只在甲午战争后，李氏朝鲜王国正式脱离清朝属国身份，为与清帝国和日本帝国并立，以本民族名称改国号为大韩帝国（也就是说其实朝鲜王国和大韩帝国只是同一国家同一王朝的两个时期的名称而已），但是实际上很快就完全沦为日本的附属国，大韩帝国存在的时间很短，十几年后就被日本正式吞并。
而你所说的金氏，是朝鲜半岛上第一个本土民族建立的统一政权（以控制半岛大部分为准）——新罗王朝的王族姓氏。早期的新罗原先是南部的一个的部族制地方政权，在国家化之后，在唐朝帮助下消灭了半岛上的两个主要对手——百济，和横跨我国东北大部以及朝鲜半岛北部的高勾丽；然后经过与唐朝的战争（在唐高宗时期），完成了韩民族居住地区的统一。
金氏的新罗王朝于10世纪灭亡（在我国五代时期），取代之的是王氏的高丽王朝。而取代高丽王朝的就是朝鲜王朝。
同我国一样，韩民族的同一姓氏并不一定是同一祖先。他们的族谱系统称为本贯，也就是籍贯+姓氏，例如新罗王族是安东金氏，朝鲜王朝的王族则是全州李氏。同一姓氏出自不同的本贯则为不同的家族，比如李氏、金氏这类大姓同时存在几十个甚至上百个本贯，有些是分支关系，有些是互相独立无关的，甚至有20%～30%的本贯是可考的汉姓（中国移民），例如朝鲜的曲阜孔氏，是孔子的支派子孙。传统上同一本贯的族人之间互不通婚。在二战之后，北方跟我国相似大肆破坏传统文化，宗族系统不大健全了。而南方还有许多的旧名门的嫡系支脉还保持着地主身份，称为宗家府。
需要注意的是，本贯虽然本来是贵族专有的（奴隶的后代不会有什么家谱），但是因为朝鲜王朝的两班制度下（一种严格近于残酷的等级制度），平民和贱民的生存空间被过度压缩，所以朝鲜王朝末期70%左右的人属于两班（可以简单地理解为贵族），也就是说除去世代作为奴仆的人口，经济上和社会地位上并不高的大部分农民都有自己的本贯。
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上面太多内容，考虑到你可能对有些不那么感兴趣，针对你的问题总结、补充一下：
韩民族/朝鲜族的统一国家有三个：金氏的新罗，王氏的高丽，李氏的朝鲜。其中李氏的朝鲜末期的十几年改称大韩帝国。半岛北方的国家取了朝鲜王朝的原名称为朝鲜，而南方取了更具有民族主义色彩的大韩，只是因为政体变化改为了大韩民国。现在一般北方称南方为南朝鲜，而南方称北方为北韩。中国之类的汉字文化圈国家过去是按意识形态附和南方或北方的称呼，现在一般就称为朝鲜和韩国。而其它语言里基本是按照古称高丽音译，例如英语称为North Korea和South Korea.
现在姓金的有一大部分是新罗王族安东金氏的子孙，比如金日成家族出身的全州金氏，就是安东金氏的分支。但是请注意，金氏、李氏占半岛人口的相当大部分，也就是说非嫡系子孙满街都是。而且因为朝鲜王朝长达500多年的严苛等级制度严重挤压了原先平民的生存空间，可以说半岛上大部分居民不是王氏后裔就是贵族后裔。所以这种身份没有什么特殊性，并不值钱。
现在的高层与否跟古代出身没什么关系。李氏王族的嫡系在日治时期死光了，所以现在的南北双方跟旧王朝没有什么关联。
当然作为没有受意识形态影响的南方，对李朝王氏还是挺怀念的，毕竟那是他们的民族统一和自由独立的象征。韩国人常常在电视剧里YY李朝的嫡系子孙还在，在二战后成功在南方复位的情况，也就是常常能看到假如韩国有王，是君主立宪制什么的。
