周游的周是四处，到处。
周游，指到处游说。见《史记·太史公自序》附 唐 司马贞 《索隐述赞》：“ 太史良才，寔纂先德。周游历览，东西南北。”
周游的引证解释如下：
1、到处游说。
《管子·小匡》：“又游士八千人，奉之以车马衣裘，多其资粮，财币足之，使出周游於四方。”
2、遍游。
《说唐》第四三回：“我们如今周游列国，到处为家。”
老舍 《四世同堂》四：“他愿意摆脱一切俗事，到深远的山中去读书，或是乘着大船，在海中周游世界一遭。”
3、周旋，盘旋。
《淮南子·主术训》：“今夫御者，马体调於车，御心和於马，则历险致远，进退周游，莫不如志。”
4、引申为徘徊，走来走去。
宋 王谠 《唐语林·补遗三》：“ 李德裕 自 金陵 追入朝，且欲大用，虑为人所先，且欲急行。至 平泉别墅 ，一夕秉烛周游，不暇久留。”
5、犹言交游。
《三国志·魏志·荀攸传》“ 太祖 言则流涕” 裴松之 注引 三国 魏 王沉 《魏书》：“ 太祖 令曰：‘孤与 荀公达 周游二十馀年，无毫毛可非者。’”
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周游的近义词——漫游
漫游是随意游玩，漫无目的游走的意思。漫游的出处如下：
1、北魏郦道元《水经注·渭水一》：“﹝万石湾﹞渊深不测，实为灵异。先后漫游者，多罹其毙。”
2、 唐元结《漫酬贾沔州》诗：“漫游无远近，漫乐无早晏。”
3、 宋叶适《除太府卿淮东总领谢表》：“既筦钱米，又知甲兵，本乞漫游，更叨烦委。”
4、冰心《寄小读者》十四：“小朋友！漫游的生涯，从今开始了！”
参考资料：百度百科——周游
