开除行政机关工勤人员法律依据是《中华人民共和国劳动合同法》以及《中华人民共和国公务员法》
首先要看工勤人员是派遣员工还是编制内公务员，如果是派遣员工的话，违反了劳动合同法的有关规定，只要书面解除派遣合同就可以了；如果是公务员，则要按照国家公务员法进行操作，依据法定情况进行开除。
相关法规如下：
1、《劳动合同法》：第三十九条 劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；
（二）严重违反用人单位的规章制度的；
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的； （六）被依法追究刑事责任的。
2、《公务员法》:第八十三条 公务员有下列情形之一的，予以辞退：
（一）在年度考核中，连续两年被确定为不称职的；
（二）不胜任现职工作，又不接受其他安排的；
（三）因所在机关调整、撤销、合并或者缩减编制员额需要调整工作，本人拒绝合理安排的；
（四）不履行公务员义务，不遵守公务员纪律，经教育仍无转变，不适合继续在机关工作，又不宜给予开除处分的；
（五）旷工或者因公外出、请假期满无正当理由逾期不归超过十五天，或者在一年内累计超过三十天的。
