求z=y^x的二阶偏导数

2021-11-06 科技 397阅读

解答过程如下:

这是一个幂指数函数先求对函数关于x的一阶偏导,则y为常数,这个函数看做指数函数。z'(x)=y^x·lny,再求对函数关于y的一阶偏导z'(y)=x·y^(x-1)。

然后继续对关于x,y分别求二阶偏导数:

z'(xx)=y^x·ln²y。

z'(yy)=x(x-1)·y^(x-2)。

z'(xy)=xy^(x-1)lny+y^x·1/y=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。

z'(yx)=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。

扩展资料:

偏导数的几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数

如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

参考资料来源:百度百科-偏导数

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