根据《中华人民共和国公司登记管理条例》第二十九条第二款的规定：
公司变更住所跨公司登记机关辖区的，应当在迁入新住所前向迁入地公司登记机关申请变更登记；迁入地公司登记机关受理的，由原公司登记机关将公司登记档案移送迁入地公司登记机关。
也就是说，你应该直接去渝中区工商局办理变更手续。
公司申请变更登记，应当提交的材料大概有：
（一）公司法定代表人签署的变更登记申请书
（这东西可以到重庆市工商局的官方网站下载电子版本，自行打印，也可以到工商部门索取已印刷好的表格，拿回去签好名字，盖好章再提交）
（二）依照《公司法》作出的变更决议或者决定；
（三）国家工商行政管理总局规定要求提交的其他文件：
（即新的经营场所的房产证明文件，如果是租的还需要租赁合同原件和复印件，无偿提供使用的，则提交一份无偿提供经营场所的情况说明)
……
如果你公司的经营范围设计前置许可审批的，按照“先证后照”的原则，先去变更前置许可审批的地址，然后才去工商部门变更经营地址
个人建议你还是自己跑一趟工商部门，问清楚情况，因为各地有各地的政策，办事程序未必和上面说的标准流程一模一样。
p.s.地税、国税部门的《税务登记证》、质量技术监督管理局的《机构代码证》等证件也都要在营业执照完成变更手续后去办理经营场所的变更手续。
【问题补充】：那我可不可以先去工商局办理营业执照的变更，也就是说等我营业执照的地址变为萝岗区的后，再去税务局办理变更呢？把这件事情分为两部走？
答：有先后顺序的。
因为是跨区，所以先去南岸区的税务部门注销，然后办好营业执照之后去渝中区税务部门重新办理税务登记证
到工商局，办理好所有变更登记手续，拿到了新的营业执照，
然后才去萝岗区税务、质监部门办理相关证件的变更手续，
因为这些部门都以营业执照上所登记的内容为准的。
个人建议，最好亲自咨询当地各个部门的手续如何
有些地方的规定可能会不同
