首先回答你“派出所说他们没有义务督促伤人者承担医疗费用的说法是否正确呢？”这个说法是正确的。
第二，关于轻伤案件处理流程
如果双方愿意协商处理，那么派出所可以组织双方进行调解，调解成功后，对嫌疑人一方的犯罪行为不予追究。如果双方其中一方不愿意协商处理，那么公安机关必须立案侦查，并对嫌疑人一方采取强制措施（刑事拘留、取保候审、监视居住），然后将案件移送检察院起诉，直至法院判决，也只有当受害人提起了民事诉讼后，只有法院才有义务责令嫌疑人赔付伤者的医药费，如果在判决之前，受害人不提出民事诉讼，那么将认为自动放弃赔偿。
最后你要注意几点：你是否有法医鉴定并且鉴定结论为轻伤；你是否答应与嫌疑人协商解决，如果答应协商解决，那么公安机关也暂时不会对嫌疑人进行处理，这时嫌疑人如果还没有与你协商解决的诚意，只是拖时间，那么你告诉办案民警，不再与对方协商解决了，要求公安机关对对方采取强制措施；最后，公安机关采取强制措施，不一定都是要关人，监视居住、取保候审都是强制措施的一种，监视居住和取保候审都可以不必关押在看守所，可以在外面自动活动。
