设A^(-1)有特征值λ，α是对应于特征值λ的A^(-1)的特征向量,
则A^(-1)α=λα,
因为A正定,所以A的所有特征根大于0，
即可推出A可逆以及λ≠0,
对A^(-1)α=λα两边左乘A，
α=Aλα，得Aα=α/λ，
即1/λ是A的特征值，
而由于A正定，1/λ>0，λ>0,
故A^(-1)也正定.
设A*有特征值λ,α是对应于特征值λ的A*的特征向量,那么
A*α=λα,
等式左乘A，得到
AA*α=λAα ，
|A|α=λAα，
Aα=(|A|/λ)α
即|A|/λ是A特征值，
故|A|/λ >0 ，从而λ>0
故A*是正定矩阵。
