证：首先由AB=A+B得：
AB-A-B+E=E
则(A-E)(B-E)=E,
从而A-E可逆
再由(A-E)(B-E)=E=(B-E)(A-E),
知AB=BA
在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。
扩展资料
性质
矩阵A和A等价(反身性）；
矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
