23 (1)证明：因为EH垂直CD
CD垂直AB
所以EH平行AB
所以角BAE=角HAE
因为AE平分角DAB
所以角BAE=角DAE
所以角DAE=角HAE
所以AH=HE
(2)证明：延长EB，使BP=AC，连接AP
因为BE垂直AB
所以角ABE=角ABP=90度
因为CD垂直AB
所以角ACD=90度
因为AB=CD
所以三角形ACD全等三角形ABP (SAS)
所以AD=AP角ADC=角PAB
因为角ACD=角ABE=90度（已征）
所以角AFC=角AEP
因为角AFC=角DAE+角ADC
角PAE=角BAE+角PAB
角DAE=角PAB（已证）
所以角AFC=角PAE
所以角PAE=角AEP
所以AP=EP
所以AD=EP
因为EP=BE+BP
所以AD=AC+BE
(3)解：过点H做HM垂直AB
所以角AMH=90度
因为角ABE=90度（已证）
所以角AMH=角ABE=90度
所以HM平行EB
因为HE平行AB（已证）
所以四边形MHEB是平行四边形
所以HE=BM
HM=BE
因为BE=3
AB=CD=4
AC=AB-BM
所以HM=3
AC=4-HE
因为AH=HE（已证）
所以AC=4-AH
在直角三角形AMH中，角AMH=90度
所以AH^2=AC^2+HM^2
AH^2=(4-AH)^2+9
AH^2=16-8AH+AH^2+9
8AH=25
AH=25/8
因为HE平行AB（已证）
CD平行BE（已证）
所以四边形BEGC是平行四边形
角DCB=角DGE
GE=BC
CH=BE=3
因为AD=AC+BE
AB=CD=4
BE=3
DG=CD-CH=4-3=1
AC=AB-BC=4-BC=4-GE
AD=AC+BE
所以AD=4-BC+3=7-BC=7-EG
因为CD垂直AB
所以角ACD=角DCB=90度
所以三角形ACD是直角三角形
角DGE=90度
所以AD^2=AC^2+CD^2
(7-GE)^2=(4-GE)^2+16
49-14GE+GE^2=16-8GE+GE^2+16
6BE=17
GE=17/6
在直角三角形DGE中，角DGE=90度
所以DG^2+GE^2=DE^2
DE=根号290/6
24 (1)解：过点N做NG垂直OM于G, 连接MN
所以角OGN=角MGN=90度
所以三角形OGN好三角形MGN是直角三角形
所以JON^2=NG^2+OG^2
MN^2=NG^2+MG^2
因为角AOB+角OGN+角ONG=180度
角AOB=45度
所以角AOB=角ONG=45度
所以OG=NG
因为ON=8倍根号2
所以OG=NG=8
因为PM绕点P逆时针旋转90度得到PN
所以PM=PN
角MPN=90度
所以三角形MPN是等腰直角三角形
所以MN^2=PM^2+PN^2
角PNM=45度
因为PM=5倍根号2
所以MN=10
MG=6
因为OM=OG+MG=8+6=14
所以OM的长是14
因为角AOB=角PNM=45度（已证）
角OMN=角OMN
所以三角形OMN相似三角形NMC (AA)
所以MN/OC=OM/MN
所以MN^2=OC*OM
所以OC=50/7
综上所述：OM=14 OC=50/7
