微分方程的特解怎么求

2022-03-18 科技 214阅读

二次非齐次微分方程的一般解法

一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步:求特征根

令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)

第二步:通解

1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

第三步:特解

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)

则y*=x^k*Q(x)*e^(λx)(注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)

1、若λ不是特征根k=0y*=Q(x)*e^(λx)

2、若λ是单根k=1y*=x*Q(x)*e^(λx)

3、若λ是二重根k=2y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)

第四步:解特解系数

把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解。

通解的系数C1,C2是任意常数。

拓展资料:

微分方程

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。

高数常用微分表

唯一性

存在定一微分程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

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