设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明： （1）存在ξ∈（0，1），使

证明：（1）由于f（x）为奇函数，则f（0）=0，由于f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈（0，1），使得f′(ξ)＝f(1)?f(0) 1?0 ＝1 （2）由于f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数，由（1）可知存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1，且f'（-ξ）=1，令φ（x）=f'（x）+f（x），由条件显然可知在φ（x）在[-1，1]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈（-1，1），使得φ(1)?φ(?1) 1?(?1) ＝φ′(η)成立，φ（1）-φ（-1）=f'（1）+f（1）-f'（-1）-f（-1）=2f（1）=2，从而φ'（η）=1成立，即f''（η）+f'（η）=1