椭圆和双曲线的离心率与图形的圆扁关系是怎么样的?

2022-04-23 教育 286阅读

在椭圆中,e=c/a,而a^2-b^2=c^2,e越接近于1,则c越接近于a,从而b=√(a^2-c^2)越小,因此,椭圆越扁;反之,e越接近于0,c越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆就接近于圆。

所以椭圆离心率越大,它越扁。

在双曲线中,e=c/a,而a^2+b^2=c^2,所以b/a=√(c^2-a^2)/a=√(c^2/a^2-1)=√(e^2-1),所以e越大,b/a也越大,即渐近线y=±b/a*x的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔,由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。

椭圆扁平程度的一种量度,离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值,用e表示,即e=c/a(c,半焦距;a,长半轴)

椭圆的离心率可以形象地理解为,在椭圆的长轴不变的前提下,两个焦点离开中心的程度。

扩展资料:

椭圆的离心率:e=c/a(0,1)(c,半焦距;a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线))

抛物线的离心率:e=1

双曲线的离心率:e=c/a(1,+∞)(c,半焦距;a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线))

在圆锥曲线统一定义中,圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-e×cosθ),其中e表示离心率,p为焦点到准线的距离。

椭圆上任意一点到两焦点的距离等于a±ex。

平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e((e>1),即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为(焦点在x轴上)或(焦点在y轴上)。

圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角,即θ=arccos(1/e)

令θ=0,得出ρ=ε/(1-e),x=ρcosθ=ε/(1-e)

令θ=π,得出ρ=ε/(1+e),x=ρcosθ=-ε/(1+e)

这两个x是双曲线定点的横坐标。

参考资料来源:百度百科——椭圆离心率

参考资料来源:百度百科——双曲线

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