建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点．
康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性．
这些都是不动点定理的一种延伸。
