x,y,z>0。xy+xz+yz=1。求证xyz(x+y+z)小于等于1/3

∵xy＋xz＋yz＝1，
∴（xy＋xz＋yz）^2＝1，
∴（xy）^2＋（xz）^2＋（yz）^2＋2xy·xz＋2xy·yz＋2xz·yz＝1，
∴（xy）^2＋（xz）^2＋（yz）^2＝1－2xyz（x＋y＋z），
∴（xy）^2＋（xz）^2＋（yz）^2－（2/3）（xy＋xz＋yz）＝1/3－2xyz（x＋y＋z），
∴（xy－1/3）^2＋（xz－1/3）^2＋（yz－1/3）^2＝2/3－2xyz（x＋y＋z）。
显然有：（xy－1/3）^2＋（xz－1/3）^2＋（yz－1/3）^2≧0，
∴2/3－2xyz（x＋y＋z）≧0，
∴xyz（x＋y＋z）≦1/3。