违法，不能。
两者的区别在于：辞退通知书只是告知，是企业单位单方面的。解除劳动关系手续需要双方签字。
没有履行解除劳动关系就与其它单位签订劳动合同易出问题。如果原单位跟你理论此事，属于你违约。还是解除后再新签订为好。因为解除劳动关系还有三年内赔偿你一年工资、过三年每年赔偿两个月工资的问题。
拓展资料：
劳动合同解除，是指在劳动合同有效成立以后，当解除的条件具备时，因当事人一方或双方的意思表示，使劳动合同向将来消灭的行为。劳动合同的解除方式可分为协议解除和单方解除。协议解除，即劳动合同经当事人双方协商一致而解除。单方解除即亨有单方解除权的当事人以单方意思表示解除劳动合同。
劳动部《关于劳动法若干问题的意见》第26条规定：劳动合同的解除是指劳动合同订立后，尚未全部履行以前，由于某种原因导致劳动合同一方或双方当事人提前消灭劳动关系的法律行为。劳动合同的解除分为协商解除、法定解除和约定解除三种；解除劳动合同是劳动合同从订立到履行过程中可以预见的中间环节，依法解除劳动合同是维护劳动合同双方当事人正当权益的重要保证
参考资料：劳动合同解除 百度百科
