要证明一个函数有界，需要考虑以下几个方面：
1. 显式地定义函数的定义域和值域。有些函数的定义域和值域可以很明显地表示出来，比如正弦函数的定义域是所有实数，值域在-1到1之间。在这种情况下，我们可以直接根据定义判断函数是否有界。
2. 使用极值定理。极值定理指出，如果一个连续函数在一个有限闭区间内连续，则它必然在该区间内取得最大值和最小值。因此，如果我们能证明一个函数在某个区间内是连续的，那么我们就可以用最大值和最小值来证明其有界性。
3. 利用函数的性质。有些函数具有一些明显的性质，比如周期性、单调性、奇偶性等等。这些性质可以帮助我们证明函数的有界性。例如，一个周期为2π的正弦函数或余弦函数，在任意一个区间内都有上界和下界，并且在整个实数轴上也是有界的。
4. 应用数学方法。有些函数虽然没有明显的性质，但是我们可以利用数学方法来证明它的有界性。例如，我们可以使用微积分中的柯西—施瓦茨不等式来证明某些函数的有界性，或者利用柯西收敛准则来判断一个级数是否收敛，从而推导出函数的有界性。
总之，证明一个函数有界需要综合利用以上这些方法。有时候我们需要多种方法结合起来使用，才能得到一个完整的证明。
