18．意想不到的老虎 公主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？ 国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不 知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老底将是料想不到的。
M；迈克看着这些门，对自己说道—— 迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。 迈克：五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。
可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。 M：按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。 迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。 M：迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失地去开门了。
使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。 意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式的故事。不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初，说的是一个教授的故事。
这位教授宣布下一周的其一天要举行一次“意料之外的考试”。他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期。一个学生“证明”了这不会在下一周的最后一天，接着是不会在倒数第二天，倒数第三天，等等，结果是不会在下周的每一天考试。然而，教授能够遵守他的诺言来考学生，比如说在第三天考。
当哈佛大学哲学家W。V。奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞死犯人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目，可参见马丁·加德勒的《料想不到的绞刑和其他数学游戏》一书第一章。
大多数人承认迈克推理的第一步是正确的，即那只老虎不可能在最后一个房间。可是，一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推理就跟着成立。因为，假若老虎不可能在最后一个房间，那么同样的理由将排除它在倒数第二间，第三间，一直到其余各房间。 然而，很容易证明迈克推理的第一步也是错的。
假定他打开了所有房门，只余下最后一个门。这时，他能准确地推断说最后一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如果他这样推断，他也许会打开这个房门，发现有一个料想不到的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间，整个悖论也仍存在。 逻辑学家的一致意见是，尽管国王知道他能够遵守他的诺言，而迈克却无法知道它。
因此，他根本无法以充分的证据推论在任何一个房间没有老虎，包括最后一个房间在内。 3．人口爆炸 M：近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的议论了。 M：妇女反对控制生育同盟主席，宁尼夫人不同意这种说法，她认为世界上的人口正在减少，很快地，每个人就会有更多的空间，比他们所需要的还要多。
M：她的观点是—— 宁尼夫人：每个人生来就有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有8个曾祖父母。你每往上数一辈，祖宗的数目就增加一倍。 M：如果你回溯20代到中世纪，你就会有1048576个祖宗！把这个应用到今天每个活着的人身上，那么中世纪的人口就会是现在人口的一百多万倍!宁尼夫人肯定不对，可是她的推理中那儿出了错？ 要考虑这个问题最好是先问问，在这个悖论和“六个席位之谜”之间有什么联系没有。
如果下面两个假定成立的话，宁尼夫人的说法就是对的： 1．在各个活着的人的祖辈宗谱树上，每一位祖先只出现一次。 2．同一个人只出现在一个祖辈宗谱树上，不能多于一次。 在所有各种情形中这两个假设没有一个是正确的。如果一对夫妇有五个孩子，这五个孩子又每人有五个孩子，那么，原来那对夫妇就会是25个独立的祖辈宗谱树上的祖父母。
再者，如果你在任意一个宗谱树上回溯很多代，就会有某些远亲联姻的夫妇。 宁尼夫人论点的谬误就在于，它既没有考虑到一棵宗谱树上远亲联姻的夫妇，又没考虑到构成每个活人的宗谱树上的人群的大量“交易”。在“六个席位之谜”中只有一个人算了两次，可是在宁尼夫人关于人口回溯内爆中就有成千上万人计算了成千上万次！ 一个班级的学生也许会对加倍数列的各项增加之快感到吃惊。
如果有某人同意，今天给另一人一元，明天两元，后天4元，如此下去。很难相信在第20天他就得给那个人一百多万元！这一惊人的结果往往用来介绍几何级数（见哈罗尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》第二节）。 在加倍数列中有没有什么简便方法来计算头20项的和？有！办法是末项增加一倍再减1。
第20项是1048576，故头20项的总和为： 2*1048576-1=2097151 这个方法可用来求加倍数列中任意前若干项的部分和。有些学生应当会证明这一结果。 4．基诺悖论 M：古希腊人设想出了很多关于时间和运动的悖论．最著名的一个是基诺关于跑步人的诡论。
M：基诺的跑步人作如下推理。 甲：在我达到终点线之前，我必须经过中点。然后．我必须跑到3/4处，它是剩下距离的—半。 甲：而在我跑完最后的1/4这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的，我将根本不能达到终点。
M：假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间—距离关系图表明他是如何越来越接近终点，而绝不会达到终点的。他的论据对吗？ M：不对，因为跑步人不是每跑半截都用1分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一半。他只要两分钟就可以到达终点，只不过他须通过无穷多个中点而已。
M：基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。 M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。 M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。 海龟：你别想抓住我，老朋友。
只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。 M：基诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟。他不过是显浅的说明，在把时间和空间看成是由一连串的离散点组成，就像一串念珠前后相连那样时，会引起怎样令人迷惑的结果。
在这两个悖论中，我们必须把两个跑步人都等价地看作沿一条直线作匀速运动的点。基诺之道由A向B运动的点确实到达了B点。他这两个悖论的设计显示出，当一个人试图把直线分为若干分离的点，这些点一个个依次往下排列，同时再把时间分成前后相随又互不重叠的间隔，并以此来说明运动时，会碰到怎样的困难。
像我们在上一组画面中那样，仅仅说明跑步人能够到达B点，是因为他每跑一个新半截所需的时间是跑前段路时间的一半，这还不能使基诺满意。他总是答道，就如在直线上总有—个新的中点要跑到一样，时间也总有新的半刻要经过。简言之，基诺用于直线上的论点也可以用到时间的序列上来。
虽说时间可以越来越接近两分钟，但总还有一段无限小的时间瞬息要通过。阿基里斯和海龟的悖论也都是一样的道理。在无穷进程中的每一步，都还有一个没完没了的“下—步”要做，在空间和时间两方面都如此。 很多科学的哲学家都同意罗素对基诺悖论所作的著名讨论，这发表在他的《我们对外部世界的知识》一书的第六讲中。
罗素指出，基诺悖论只有到乔治·康妥之后才能有效地解答。在十九世纪建立了他的无穷集理论。康妥证明了，一条直线段上的点数（或一个有限的时间区间内的间隔），是“不可数的”，这就是说不能把它们和计数用数一一对应，如果说基诺的跑步人总有更多的点要数，那么他是数不完的，跑步人也就到不了终点。
可那些点是不可数的。学生们如果想更多地了解基诺悖论的旨趣，最好是参考韦斯勒·C·萨蒙编辑的一个平装文集：《基诺悖论集》。 。
