例题:A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An（A后的括号代表下标）求通项An
引:一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An+xA(n-1)+y=0.
可以通过简单的转化,求得An+xA(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项An.
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.
解:
构造等式:
A(n+2)-xA(n+1)-y(A(n+1)-xAn)=0(***)
即:A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyAn=0
与A(n+2)+A(n+1)-2An＝0比较可知:
x,y是方程zz+z-2=0的两根.
(***)式说明:A(n+2)-xA(n+1)是公比为y的等比数列;
于是
A(n+1)-xAn=函数f(n)=y^(n-1)(A2-xA1)(###1)
再构造f(n)=g(n+1)-xg(n),从而取An=g(n).
另外,根据x,y的对称性,可将(***)式等效转化为
A(n+2)-yA(n+1)-x(A(n+1)-yAn)=0(***)
也即:A(n+2)-yA(n+1)是公比为x的等比数列.
于是当x,y不等时,还可得到
A(n+1)-yAn=x^(n-1)(A2-yA1)(###2)
由###1,2两式可以方便地得到An.
下略.
在这里,我们可以总结出经验,
An形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,
但我们既然已经知道了An形如ax^n+by^n
用初始两项A2=ax^2+by^2,A1=ax+by求得则更快.
这便是待定系数法了.
另请参见拙文:
由递推式求通项方法原理-广义fibonacci数列的通项求法
