2013年新课标全国卷2文科数学

2020-06-29 教育 103阅读
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文(全国卷II新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013课标全国Ⅱ,文1)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=().
A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D..{-3,-2,-1}
2.(2013课标全国Ⅱ,文2)=().
A. B.2 C. D..1
3.(2013课标全国Ⅱ,文3)设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是().
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3
4.(2013课标全国Ⅱ,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,,,则△ABC的面积为().
A. B. C. D.
5.(2013课标全国Ⅱ,文5)设椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为().
A. B. C. D.
6.(2013课标全国Ⅱ,文6)已知sin 2α=,则=().
A. B. C. D.
7.(2013课标全国Ⅱ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=().
A. B.
C. D.
8.(2013课标全国Ⅱ,文8)设a=log32,b=log52,c=log23,则().
A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
9.(2013课标全国Ⅱ,文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为().
10.(2013课标全国Ⅱ,文10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为().
A.y=x-1或y=-x+1 B.y=或y=
C.y=或y= D.y=或y=
11.(2013课标全国Ⅱ,文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0
12.(2013课标全国Ⅱ,文12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是().
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013课标全国Ⅱ,文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是__________.
14.(2013课标全国Ⅱ,文14)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.
15.(2013课标全国Ⅱ,文15)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为__________.
16.(2013课标全国Ⅱ,文16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移个单位后,与函数y=的图像重合,则φ=__________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013课标全国Ⅱ,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
18.(2013课标全国Ⅱ,文18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
19.(2013课标全国Ⅱ,文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
20.(2013课标全国Ⅱ,文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
21.(2013课标全国Ⅱ,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
22.(2013课标全国Ⅱ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.
23.(2013课标全国Ⅱ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
24.(2013课标全国Ⅱ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)≥1.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷II新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:C
解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选C.
2.
答案:C
解析:∵=1-i,∴=|1-i|=.
3.
答案:B
解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为,先画出l0:y=,当z最小时,直线在y轴上的截距最大,故最优点为图中的点C,由可得C(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6.

4.
答案:B
解析:A=π-(B+C)=,
由正弦定理得,
则,
∴S△ABC=.
5.
答案:D
解析:如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由tan 30°=,得.

而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,
∴,∴.
6.
答案:A
解析:由半角公式可得,
=.
7.
答案:B
解析:由程序框图依次可得,输入N=4,
T=1,S=1,k=2;
,,k=3;
,S=,k=4;
,,k=5;
输出.
8.
答案:D
解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>>>0,即log23>1>log32>log52>0,∴c>a>b.
9.
答案:A
解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:

则它在平面zOx的投影即正视图为,故选A.
10.
答案:C
解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.

设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
在△AMK中,由,得,
解得x=2t,则cos∠NBK=,
∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=.
当直线l的斜率小于0时,如图所示,同理可得直线方程为y=,故选C.
11.
答案:C
解析:若x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.

12.
答案:D
解析:由题意可得,(x>0).
令f(x)=,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:0.2
解析:该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为5”={(1,4),(2,3)}有2个,∴P(A)==0.2.
14.答案:2
解析:以为基底,则,
而,,
∴.
15.答案:24π
解析:如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=×S正方形ABCD·|OO1|=××|OO1|=,

∴|OO1|=,|AO1|=,
在Rt△OO1A中,OA==,即,
∴S球=4πR2=24π.
16.答案:
解析:y=cos(2x+φ)向右平移个单位得,=cos(2x-π+φ)=,而它与函数的图像重合,令2x+φ-=2x++2kπ,k∈Z,
得,k∈Z.
又-π≤φ<π,∴.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:(1)设{an}的公差为d.
由题意,=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.
18.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C-A1DE的体积.
解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.

又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD,BC1平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,,,,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以VC-A1DE==1.
19.
解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
20.
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2.
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0).由已知得.
又P点在双曲线y2-x2=1上,
从而得
由得
此时,圆P的半径r=.
由得
此时,圆P的半径.
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
21.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=-e-xx(x-2).①
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.
故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),
则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以l在x轴上的截距为m(t)=.
由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令h(x)=(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[,+∞);
当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞).
综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[,+∞).
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.
22.
解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,
所以∠DCB=∠A.
由题设知,
故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
因为B,E,F,C四点共圆,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,
因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)连结CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,
由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
23.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
24.
解:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为,,,
故≥2(a+b+c),
即≥a+b+c.
所以≥1.
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