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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文(全国卷II新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，文1)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()．
A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．．{－3，－2，－1}
2．(2013课标全国Ⅱ，文2)＝()．
A． B．2 C． D．．1
3．(2013课标全国Ⅱ，文3)设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是()．
A．－7 B．－6 C．－5 D．－3
4．(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，，，则△ABC的面积为()．
A． B． C． D．
5．(2013课标全国Ⅱ，文5)设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()．
A． B． C． D．
6．(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝，则＝()．
A． B． C． D．
7．(2013课标全国Ⅱ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()．
A． B．
C． D．
8．(2013课标全国Ⅱ，文8)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()．
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．(2013课标全国Ⅱ，文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．
10．(2013课标全国Ⅱ，文10)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()．
A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝或y＝
C．y＝或y＝ D．y＝或y＝
11．(2013课标全国Ⅱ，文11)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
12．(2013课标全国Ⅱ，文12)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是()．
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅱ，文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
14．(2013课标全国Ⅱ，文14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.
15．(2013课标全国Ⅱ，文15)已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．
16．(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝的图像重合，则φ＝__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
18．(2013课标全国Ⅱ，文18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
19．(2013课标全国Ⅱ，文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
20．(2013课标全国Ⅱ，文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
21．(2013课标全国Ⅱ，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
22．(2013课标全国Ⅱ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
23．(2013课标全国Ⅱ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013课标全国Ⅱ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)≥1.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷II新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：C
解析：由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．故选C.
2．
答案：C
解析：∵＝1－i，∴＝|1－i|＝.
3．
答案：B
解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为，先画出l0：y＝，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由可得C(3,4)，代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6.
4．
答案：B
解析：A＝π－(B＋C)＝，
由正弦定理得，
则，
∴S△ABC＝.
5．
答案：D
解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
由tan 30°＝，得.
而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，
∴，∴.
6．
答案：A
解析：由半角公式可得，
＝.
7．
答案：B
解析：由程序框图依次可得，输入N＝4，
T＝1，S＝1，k＝2；
，，k＝3；
，S＝，k＝4；
，，k＝5；
输出.
8．
答案：D
解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞＞＞0，即log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞b.
9．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.
10．
答案：C
解析：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.
设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，
在△AMK中，由，得，
解得x＝2t，则cos∠NBK＝，
∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k＝tan 60°＝，故直线方程为y＝．
当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝，故选C.
11．
答案：C
解析：若x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
12．
答案：D
解析：由题意可得，(x＞0)．
令f(x)＝，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：0.2
解析：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A＝“其和为5”＝{(1,4)，(2,3)}有2个，∴P(A)＝＝0.2.
14．答案：2
解析：以为基底，则，
而，，
∴.
15．答案：24π
解析：如图所示，在正四棱锥O－ABCD中，VO－ABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝××|OO1|＝，
∴|OO1|＝，|AO1|＝，
在Rt△OO1A中，OA＝＝，即，
∴S球＝4πR2＝24π.
16．答案：
解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位得，＝cos(2x－π＋φ)＝，而它与函数的图像重合，令2x＋φ－＝2x＋＋2kπ，k∈Z，
得，k∈Z.
又－π≤φ＜π，∴.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)设{an}的公差为d.
由题意，＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
18．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积．
解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以VC－A1DE＝＝1.
19．
解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
20．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．由已知得.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，
从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
21．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，
则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为m(t)＝.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)；
当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞)．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[，＋∞)．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．
解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A.
由题设知，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，
因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
23．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．
解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为，，，
故≥2(a＋b＋c)，
即≥a＋b＋c.
所以≥1.
