1的阶乘1!为1、0的阶乘0!亦为1，其中，0的阶乘表示一个空积。
1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法：
{\displaystylen!=\prod_{k=1}^{n}k\quad\foralln\geq1}n!=\prod_{{k=1}}^{n}k\quad\foralln\geq1。
符号{\displaystyle\Pi}\Pi表示连续乘积，亦即n!=1×2×3×...×n。
阶乘亦可以递回方式定义：
0!=1，n!=(n-1)!×n。
除了自然数之外，阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：
{\displaystylez!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty}t^{z}e^{-t}\,dt}z!=\Gamma(z+1)=\int_{{0}}^{{\infty}}t^{z}e^{{-t}}\,dt
阶乘应用在许多数学领域中，最常应用在组合学、代数学和数学分析中。
在组合学中，阶乘代表的意义为n个相异物件任意排列的数量，例如前述例子，5!=120其代表了5个相异物件共有120种排列法。
在正整数的情形下，n的阶乘又可以称为n的排列数。
扩展资料:
阶乘的历史:
早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录。
1677年时，法比安·斯特德曼使用Changeringing来解释阶乘的概念。
在描述递回方法之后，斯特德将阶乘描述为：“现在这些方法的本质是这样的：
一个数字的变化数包含了所有比他小的数字（包括本身）的所有变化数……因为一个数字的完全变化数是将较小数字的变化数视为一个整体，并透过将所有数字的完整变化联合起来。”
参考资料来源:
