可以要求订立劳动合同和补交养老保险。
《劳动法》第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。且自满一年之日起视为已签订无固定期限劳动合同。
《劳动法》第72条规定：“用人单位和劳动者必须依法参加社会保险,缴纳社会保险费。”所以用人单位必须依法为员工购买社会保险，不以试用期和转正而改变，只要建立了劳动关系就必须购买。《劳动合同法》第38条规定，用人单位不给参保的，员工可以随时辞职，并要求公司支付补偿金和补交社保的。
